（a,b,c）为正整数,证明（（a,b）,c）=（a,b,c）.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 07:22:47

主要使用结论: 两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.
首先, 若a, b, c中有0, 易见((a,b),c) = 0 = (a,b,c). 以下只讨论a, b, c ≠ 0的情况.
∵(a,b,c)是a, b, c的公约数, 即(a,b,c) | a, (a,b,c) | b, (a,b,c) | c,
∴(a,b,c) | (a,b), (a,b,c) | c, 即(a,b,c)是(a,b)和c的公约数,
∴(a,b,c) | ((a,b),c).
由a, b, c ≠ 0, 有((a,b),c) > 0, 于是(a,b,c) ≤ ((a,b),c).
而∵((a,b),c)是(a,b)和c的公约数, 即((a,b),c) | (a,b), ((a,b),c) | c,
∴((a,b),c) | a, ((a,b),c) | b, ((a,b),c) | c, 即((a,b),c)是a, b, c的公约数.
∴((a,b),c) ≤ (a,b,c).
于是只有((a,b),c) = (a,b,c).
至于怎么证明两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.
这个用裴蜀(Bézout)定理, 存在整数x, y使ax+by = (a,b).
易见a, b的公约数一定整除左边, 因此也整除右边.
Bézout定理则是用带余除法证明的.

证明:|a-b|≤|a-c|+|b-c|(a,b,c均为向量）已知a,b,c为正整数,且（√3×a+b）÷(√3×b+c)的值为有理数.证明：(a²+b²+c&s 已知：（a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b,a+b+c≠0.求证：：（a+b）(b+c)(c+a) （a+b-c）(a-b+c) 证明a^b^+b^c^+a^c大于或等于abc（a+b+c）设集合A、B、C,证明：（A-B）-C=（A-C）-（B-C） (b-c)(c-a)分之a-b +（c-a）(a-b)分之b-c +(a-b)(b-c)分之c-a的值能否为0 已知2a.27b.37c=1998,其中a,b,c均为正整数,求（a-b+c）的值. 若a、b、c均为正整数,且根号（a-根号28）=根号b-根号c,求a+b+c的算术平方根. 设a,b,c>0,证明：a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c（必须用作差法,分析法证明）若a,b,c为实数,证明a÷（b+2c）+b÷（c+2a）+c÷（a+2b）＞＝1. 证明a平方除以b,加上b平方除以c,加上c平方除以a,大于等于a+b+c(a.b.c均为正数）