作业帮大一高数微积分一道题,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 07:54:15
大一高数微积分一道题,
我来答吧,希望你的作业还没有交.先说我记不清那么多定理了,就用最基本的证明吧.各种符号用汉语读音的文字表示,懒得在输入法中找符号了.
首先,这个命题很直观,显然是成立的.
证明:
因为f(x)在[a,b]上连续,
所以f(x)在(a,b)上可导;
又因为f(a)的右导数乘以f(b)的左导数>0,
所以f(a)的右导数与f(b)的左导数符号相同,
不妨设f(a)的右导数>0;
因为f(a)的右导数>0且f(x)在(a,b)上可导;(f(x)在(a,b)上可导这个条件必须加上)
所以存在一点x1属于[a,b]且x1>a,使得f(x1)>f(a)=k;
又因为f(b)的左导数与f(a)的右导数符号相同;
所以,f(b)的左导数>0且f(x)在(a,b)上可导;
同样,存在一点x2属于[a,b]且x2<b,使得f(x2)<f(b)=k;
因为f(x1)>k,f(x2)<k且f(x)在[x1,x2]上连续;
所以f(x)在(x1,x2)上必与y=k至少有一个交点,
即至少存在一点x3,使得f(x)在(x1,x2)上有f(x3)=k,
亦即f(x)在(a,b)上至少有一点x3,使得f(x3)=k.
f(a)的右导数<0的情况同理可证.
证完.
(补充:把证明中的"因为""所以""f(x)的左导数"等换成相应的数学符号即可,这里写的只是读音.
直观是因为一看到题就想到这样的图像:
)
首先,这个命题很直观,显然是成立的.
证明:
因为f(x)在[a,b]上连续,
所以f(x)在(a,b)上可导;
又因为f(a)的右导数乘以f(b)的左导数>0,
所以f(a)的右导数与f(b)的左导数符号相同,
不妨设f(a)的右导数>0;
因为f(a)的右导数>0且f(x)在(a,b)上可导;(f(x)在(a,b)上可导这个条件必须加上)
所以存在一点x1属于[a,b]且x1>a,使得f(x1)>f(a)=k;
又因为f(b)的左导数与f(a)的右导数符号相同;
所以,f(b)的左导数>0且f(x)在(a,b)上可导;
同样,存在一点x2属于[a,b]且x2<b,使得f(x2)<f(b)=k;
因为f(x1)>k,f(x2)<k且f(x)在[x1,x2]上连续;
所以f(x)在(x1,x2)上必与y=k至少有一个交点,
即至少存在一点x3,使得f(x)在(x1,x2)上有f(x3)=k,
亦即f(x)在(a,b)上至少有一点x3,使得f(x3)=k.
f(a)的右导数<0的情况同理可证.
证完.
(补充:把证明中的"因为""所以""f(x)的左导数"等换成相应的数学符号即可,这里写的只是读音.
直观是因为一看到题就想到这样的图像:
)