已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 11:35:48

已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.
设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)
与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点
中点P的坐标(x0,y0)
2x0=x1+x2
2y0=y1+y2
x1^2+y1^2=9.1式
x2^2+y2^2=9.2式
2-1式
(x2+x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0
(x2+x1)(x2-x1)+k(x2-x1)(y1+y2)=0
当x1≠x2时
(x2+x1)+k(y1+y2)=0
2x0+2ky0=0
k=-x0/y0
因为中点也在直线上
直线斜率k=(y0-2)/(x0-1)
所以通过中间参数k,得到等式
-x0/y0=(y0-2)/(x0-1)
即
-x/y=(y-2)/(x-1)
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
是个圆
当x1=x2,也满足(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
所以综上
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
为什么要2式-1式?这么做的意义是?（本人学渣……先谢谢各位了）

如果参加高考,这样解题,就没有希望了,奥林匹克高手告诉你简单的方法啦
高考方法一：
P(x,y)
OP⊥弦AB
k(OP)*k(AB)=-1
(y/x)*(y-2)/(x-1)=-1
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
方法二：
P(x,y),弦AB
xA+xB=2x,yA+yB=2y
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-2)/(x-1)
(xA)^2+(yA)^2=9.(1)
(xB)^2+(yB)^2=9.(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
2x+2y*(y-2)/(x-1)=0
x^2-x+y^2-2y=0
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
如果奥林匹克高手这样解都看不明白,那你要改文科了.
再问：为什么那样解就没有希望了？太慢了？方法二里的（1）-（2）意义是？只是为了构造出一个圆的方程么…… 嘿嘿真不好意思我就是读文科的……让您见笑了。
再答：就是解代数方程，消元呀那样解就太慢了。做不完考试题目呀，尤其是竞赛。 P(x,y) OP⊥弦AB k(OP)*k(AB)=-1 (y/x)*(y-2)/(x-1)=-1 (x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25 简单，省时，省纸。

已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹x+2y-5=0利用点差法即可得到点p的轨迹过点Q(2,-4)做圆O:x2+y2=9的割线,交圆O于A,B求AB中点P的轨迹方程.AB中点P(x,y) 2x=xA+ 高一求轨迹方程圆O：x^2+y^2=1,点P为圆O上一点,点A的坐标为(2,0),当P点在圆O上运动时,求线段PA的中点圆o:x^2+y^2=1,点P为圆O上一点,点A坐标为(2,0)当P点在圆O上运动是求线段PA的中点M的轨迹方程已知过点M(-3,-3)的直线l与圆x∧2+y∧2+4y-21=0相交于A,B两点,设弦AB的中点为P,求P的轨迹方程( 已知点A为圆x^2+ y^2=16上动点,点M（-8,0）,求线段AM的中点P的轨迹方程已知x^2/25+y^2/16=1,o为坐标原点,点P在椭圆上运动,求OP的中点M的轨迹方程已知圆C（x-1)^2+(y-1)^2=9,过点A（2,3）作圆C的任意弦,求这些弦的中点p的轨迹方程已知圆C：（x-1)^2＋（y-1）^2=9,过点A（2,3）作圆C的任意弦,求这些弦的中点P的轨迹方程. 已知点M(8,0) 和圆X^2+Y^2=16 上动点A,点P是AM的中点,则点P的轨迹方程为? 已知直线经过P(-3,-根号3),求过点P与圆x^2+y^2=9相交的弦的中点M的轨迹过点a(4,0)作直线L与圆O:x^2+y^2=4相交于m,n不同的两点,求弦mn的中点p的轨迹方程