已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 05:08:55

已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax²+bx+c经过点B（5，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．
①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5，
将点B（5，1）代入，得a（5-1）²+5=1，
解得a=-
1
4，
∴y=-
1
4x²+
1
2x+
19
4；

（2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，
显然A′（-1，5），B′（5，-1），连接A′B′分别交x轴、y轴于点C、D两点，
∵DA=DA′，CB=CB′，
∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是A′B′+AB，
而A′B′=
(5+1) 2+(1+5) 2=6
2，
AB=
(5−1) 2+(1−5) 2=4
2，
∴A′B′+AB=10
2，
四边形ABCD的最小周长为10
2；

（3）①点B关于x轴的对称点B′（5，-1），点A关于y轴的对称点A′（-1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
∴CD的解析式为：y=-x+4，
联立

y＝−x+4
y＝x，
得：

x＝2
y＝2，
∵点P在y=x上，点Q是OP的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则2≤x≤4．
故x的取值范围是：2≤x≤4．
②如图：

点E（2，2），当EP=EQ时，x-2=2-
1
2x，得：x=
8
3，
当2≤x≤
8
3时，S=
1
2PR•RQ-
1
2EP²=
1
2（x-
1
2x）•（x-
1
2x）-
1
2•
2（x-2）•
2（x-2），
S=-
7
8x²+4x-4，
当x=
16
7时，S_最大=
4
7．
当
8
3≤x≤4时，S=
1
2EQ²=
1
2•
2（2-
1
2x）•
2（2-
1
2x），
S=
1
4（x-4）²，
当x=
8
3时，S_最大=
4
9．
故S的最大值为：
4
7．

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5,0）、B（6,-6）和原点．（1）求抛物线的函数关系式；（2013•下城区二模）已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C，M为抛物线的顶点已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5,0）、B（6,-6）和原点．若抛物线y=aX2+bX+C的顶点是A（2,1）且经过点B（1,0）则抛物线的函数关系式为什么已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，-4），B（-1、0），C（-2，5）三点．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为______．（2013•东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．（2013•广州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为B（-1，m）（m≠0），并且经过点A（-3，0）．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0,-8）,对称轴为x=4．（1）求该抛物线的解