如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AD垂直AB,AB平行DC,AD=DC=AP=2,AB=1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 23:03:05

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AD垂直AB,AB平行DC,AD=DC=AP=2,AB=1
点E为棱PC的中点.求直线BE与平面PBD所成角的正弦值：若F为棱PC上一点,满足BF垂直AC,求二面角F-AB-P的余弦值

考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（I）以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据
BE
•
DC
=0,可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据BF⊥AC,求出向量
BF
的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值．
证明：（I）∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点．
∴B（1,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（1,1,1）
∴
BE
=（0,1,1）,
DC
=（2,0,0）
∵
BE
•
DC
=0,
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵
BD
=（-1,2,0）,
PB
=（1,0,-2）,
设平面PBD的法向量
m
=（x,y,z）,
由
m
•
BD
＝0
m
•
PB
＝0
,得
−x+2y＝0
x−2z＝0
,
令y=1,则
m
=（2,1,1）,
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ=
m
•
BE
|
m
|•|
BE
|
=
2
6
×
2
=
3
3
,
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为
3
3
．
（Ⅲ）∵
BC
=（1,2,0）,
CP
=（-2,-2,2）,
AC
=（2,2,0）,
由F点在棱PC上,设
CF
=λ
CP
=（-2λ,-2λ,2λ）（0≤λ≤1）,
故
BF
=
BC
+
CF
=（1-2λ,2-2λ,2λ）（0≤λ≤1）,
由BF⊥AC,得
BF
•
AC
=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0,
解得λ=
3
4
,
即
BF
=（-
1
2
,
1
2
,
3
2
）,
设平面FBA的法向量为
n
=（a,b,c）,
由
n
•
AB
＝0
n
•
BF
＝0
,得
a＝0
−1
2
a+
1
2
b+
3
2
c＝0
令c=1,则
n
=（0,-3,1）,
取平面ABP的法向量
i
=（0,1,0）,
则二面角F-AB-P的平面角α满足：
cosα=
|
i
•
n
|
|
i
|•|
n
|
=
3
10
=
3
10
10
,
故二面角F-AB-P的余弦值为：
3
10
10
点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键．

四棱锥P-ABCD中,PA垂直ABCD,PC垂直AD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,AB垂直BC,PA=AB=BC, 四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PC垂直AD,底面ABCD为梯形,AB//DC,AB垂直BC,PA=AB=B 如图,四棱锥S-ABCD中,SD垂直底面ABCD,AB平行DC,AD垂直DC,AB=AD=1DC=SD=2,E为SB上的已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB平行DC,角DAB=90°,PA垂直底面ABCD且PA=AD=DC=1/2A (1/2)四棱锥S－ABCD中,SD垂直ABCD底面,AB平行DC,AD垂直DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱在四棱锥P-ABCD中,平面PAD垂直平面ABCD,AB平行DC,三角形PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB= 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD,BC=2AD,BC平行AD ,AD⊥DC 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//DC,角ABC=45度,DC=1,AB=2,PA垂直平面ABC 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行CD,AB垂直AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2,E和F 如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60度,AB=2AD,PD垂直于底面ABCD.证明PA垂已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=45度,DC=1AB=2 PA垂直平面ABCD 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD角ABC等于45度,DC=1AB=2 PA垂直平面ABCD