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如图,在⊙O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,连接AC,将△ACE沿AC翻折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/07 22:02:15
如图,在⊙O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,连接AC,将△ACE沿AC翻折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G.
(1)证明:直线FC与⊙O相切;
(2)若OB=BG,求证:四边形OCBD是菱形.
证明:(1)连接OC,
∵OA=OC,∴∠1=∠2
由翻折得,∠1=∠3,∠F=∠AEC=90°.
∴∠2=∠3.
∴OC∥AF.∴∠OCG=∠F=90°.
∵点C在圆上
∴直线FC与⊙O相切.
(2)证法一:
在Rt△OCG中,∵OB=BG,∴BC=
1
2OG=OB,
∵直径AB垂直弦CD,∴

CB=

BD
∴CB=BD,∵OB=OC=OD
∴BC=OC=OD=BD
∴四边形OCBD是菱形.
证法二:在Rt△OCG中,
∵OB=BG
∴BC=
1
2OG=OB,
∵OB=OC,
∴CB=CO
∵AB垂直于弦CD,
∴OE=EB
∵直径AB垂直弦CD,
∴CE=ED
∴四边形OCBD是平行四边形,
∵AB垂直于弦CD,
∴四边形OCBD是菱形.