曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 22:18:23
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗,如果这样的话,第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分用曲面方程化成xy的函数对dydz化成yz的函数,同理dzdx化成zx的函数,这样一用高斯公式求偏导不都是0吗?格林公式有同样的疑惑,不知道关键错在哪了,对了,还有一个问题,关于斯托克斯公式,边界曲线所围的曲面不止一个啊,化成曲面积分时结果不影响吗
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗,如果这样的话,第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分用曲面方程化成xy的函数对dydz化成yz的函数,同理dzdx化成zx的函数,这样一用高斯公式求偏导不都是0吗?格林公式有同样的疑惑,不知道关键错在哪了,对了,还有一个问题,关于斯托克斯公式,边界曲线所围的曲面不止一个啊,化成曲面积分时结果不影响吗
我来回答你,是将曲线或者曲面的边界代入被积函数,比如球面方程 x²+y²+z²=a²(注意:这是球面方程,而非实心球体的方程,除非是x²+y²+z²≦a²,才是球体方程) 是将a²代入被积式..
举例 ,曲面积分 ∫∫(x²+y²+z²)dxdy =a²∫∫dxdy
再举一个曲面积分例子∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy (积分区域为球面 x²+y²+z²=a²外侧) 按照你说的意思就是∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy = (这一步的时候已经将曲面积分转化为了二重积分了,只是多了一个正负号和双值函数的区别)∫∫(a²-z²-y²)dydz +(a²-x²-z²)dzdx + (a²-x²-y²)dxdy 再用高斯公式,这样是错误的.
事实上,这一题目可以用先高斯公式∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 分别对x²、y²、z²求导数,直接转化为三重积分,最后用三重积分的对称性结果为0 .还可以对∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 使用轮换对称性=3∫∫x²dydz (由被积式和积分曲面的特点考虑)=3×2∫∫(a²-x²-y²)(±)dydz =0(这里将z²=a²-x²-y²代入,意思就是对xy坐标面进行有向投影,分为上下两个半球,上半球取正号,下半球去负号,所以结果为0).懂了吧
举例 ,曲面积分 ∫∫(x²+y²+z²)dxdy =a²∫∫dxdy
再举一个曲面积分例子∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy (积分区域为球面 x²+y²+z²=a²外侧) 按照你说的意思就是∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy = (这一步的时候已经将曲面积分转化为了二重积分了,只是多了一个正负号和双值函数的区别)∫∫(a²-z²-y²)dydz +(a²-x²-z²)dzdx + (a²-x²-y²)dxdy 再用高斯公式,这样是错误的.
事实上,这一题目可以用先高斯公式∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 分别对x²、y²、z²求导数,直接转化为三重积分,最后用三重积分的对称性结果为0 .还可以对∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 使用轮换对称性=3∫∫x²dydz (由被积式和积分曲面的特点考虑)=3×2∫∫(a²-x²-y²)(±)dydz =0(这里将z²=a²-x²-y²代入,意思就是对xy坐标面进行有向投影,分为上下两个半球,上半球取正号,下半球去负号,所以结果为0).懂了吧
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