矩形ABCD中，AD=10，AB=6，将矩形ABCD折叠，折痕为EF

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/16 07:18:18

矩形ABCD中，AD=10，AB=6，将矩形ABCD折叠，折痕为EF
（1）当A与B重合时（如图1），EF=______；
（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；
（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上（E不与A、B重合），同时F点也在线段AD上（F不与A、D重合），则A′B的长的范围是______；
（4）如图4，矩形沿直线EF折叠后，A点的对应点A′落在线段DC上，且A′D=2，求折痕EF的长．

（1）如图1，当A与B重合时，D与C重合，根据折叠的性质，可知EF=AD=10；

（2）如图2，∵将矩形ABCD折叠，折痕为EF，点A的对应点A′落在线段BC上，
∴A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°．
在Rt△A′DC中，∵DC=AB=6，A′D=10，∠C=90°，
∴A′C=
A′D2−CD2=8，
∴A′B=BC-A′C=10-8=2．
设AE=x，则BE=6-x，A′E=x．
在直角△A′BE中，∵BE²+A′B²=A′E²，
∴（6-x）²+2²=x²，
解得x=
10
3．
在Rt△AEF中，EF=
AE2+AD2=

100
9+100=
10
10
3；

（3）如图3①，当F、D重合时，A′B的值最小；
根据折叠的性质知：AF=A′F=10；
在Rt△A′FC中，A′F=10，FC=6，则A′C=8，
此时A′B=10-8=2；
如图3②，当E、B重合时，A′B的值最大；
此时A′B=AB=6．
所以A′B的长的范围是2＜A′B＜6；

（4）如图4，设A′B′与BC交于点G，FD=x，则AF=A′F=10-x，
在RT△A′DF中，∵FD=x，A′F=10-x，A′D=2，∠D=90°，
∴（10-x）²=x²+2²，

解得x=4.8．
则FD=4.8，则AF=A′F=5.2．
在△A′DF与△GCA′中，
∵

∠D＝∠C＝90°
∠DA′F＝∠CGA′＝90°−∠CA′G，
∴△A′DF∽△GCA′，
∴A′D：GC=DF：CA′=A′F：A

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