作业帮立体几何4.详细
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 02:25:52
三棱椎P-ABC中，定点P在平面ABC上的射影为O，满足OA+OB+OC=0（均为向量），A点在侧面PBC上的射影H是三角形PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是？
解题思路： 有问题请添加讨论
解题过程：
∵向量OA+向量OB+向量OC=0向量
∴O为⊿ABC的重心
又∵A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心
∴PH⊥BC
又∵PA在侧面PBC上的射影为PH
∴PA⊥BC
又∵PA在面ABC上的射影为PO
∴AO⊥BC.
同理可得CO⊥AB
∴O是△ABC的垂心.
由于⊿ABC的重心与垂心重合，所以⊿ABC为等比三角形，即三棱锥P-ABC为正三棱锥.
设AB=x，则AO=x3，
∴PO=36―x23
∴V= 13×34x2×36―x3=112108x4―x6，
令f(x)=108x4―x6，则fノ(x)=6x3(72―x2)
∴当x∈(0，62)时f(x)递增；当x∈(62，63)时f(x)递减，故x=62时f(x)取得最大值36
最终答案：略
解题过程：
∵向量OA+向量OB+向量OC=0向量
∴O为⊿ABC的重心
又∵A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心
∴PH⊥BC
又∵PA在侧面PBC上的射影为PH
∴PA⊥BC
又∵PA在面ABC上的射影为PO
∴AO⊥BC.
同理可得CO⊥AB
∴O是△ABC的垂心.
由于⊿ABC的重心与垂心重合，所以⊿ABC为等比三角形，即三棱锥P-ABC为正三棱锥.
设AB=x，则AO=x3，
∴PO=36―x23
∴V= 13×34x2×36―x3=112108x4―x6，
令f(x)=108x4―x6，则fノ(x)=6x3(72―x2)
∴当x∈(0，62)时f(x)递增；当x∈(62，63)时f(x)递减，故x=62时f(x)取得最大值36
最终答案：略