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已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+b的最小值为-1,且f(0)=-1.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/01 07:39:23
已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+b的最小值为-1,且f(0)=-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在给出的坐标系中画出y=|f(x)|的简图;
(3)若关于x的方程|f(x)|2+m|f(x)|+2m+3=0在[0,+∞)上有三个不同的解,求实数m的取值范围.
(1)∵f(0)=-1,∴b=-1.
由题意得a>0,∵f(x)=ax2+(a-1)x-1的最小值为-1,∴
−4a−(a−1)2
4a=-1,∴a=1.
∴f(x)=x2-1. 
(2)函数y=|f(x)|=|x2-1|的图象如图:
(3)令|f(x)|=t,t∈[0,+∞),
由题意可知,方程t2+mt+2m+3=0在(0,1]和(1,+∞)上各有一解.
令h(t)=t2+mt+2m+3.
①当方程t2+mt+2m+3=0有一个根为1时,
令h(1)=0,m=-
4
3.而当m=-
4
3时,t=
1
3或t=1,不符题意,舍去.
②当方程t2+mt+2m+3=0没有根为1时,


h(0)>0
h(1)<0 解得-
3
2<m<-
4
3,∴实数m的取值范围为(-
3
2,-
4
3).