在矩形ABCD中,M是AD中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:角QNM=角MNP

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 19:16:23

在矩形ABCD中,M是AD中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:角QNM=角MNP
想了很久还是想不出来,看起来是很简单.但很多三点共线的问题证不出来.请哪位强人帮帮忙呀!

我有两种办法：
①梅涅劳斯定理：
延长NQ和BA交于E点由于PMN三点共线,它是关于△ACD的梅氏线,故有
AM/MD*DP/PC*CQ/QA=1,即DP/PC=AQ/QC
又EQN三点共线,它是关于△ABC的梅氏线,故有
AE/EB*BN/NC*CQ/QA=1,即AE/EB=AQ/QC=DP/PC
所以EP两点关于直线MN对称,
即∠PNM=∠ENM=∠QNM
②解析法：
以B为原点,BC,BA为X,Y轴建立直角坐标系
设A(0,a),C(b,0),P(b,c),
则PM:by=2(c-a)(x-b)+bc (由两点式可得)
AC:ax+by=ab (由截距式可得）
联立得:Q(b(c-a)/(a-2c),ac/(2c-a))
故K(QN)=…(此处不赘)…=-2c/b
又K(PN)=c/(0.5b)=2c/b=-K(QN)
所以∠PNM=∠QNM
这道题在数学竞赛中算简单题,平面几何要多练,多掌握一些基本结论,做题时便能得心应手
我是个数学爱好者,以后有什么竞赛题找我,咱两一起切磋

如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点,求证：MN与PQ互相平分如图,在四边形ABCD中,AB＝CD,M.N.P.Q分别是AD.BC.BD.AC的中点,求证：MN与PQ互相垂直平分已知,如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形如图在四边形ABCD中,P、M、N、Q分别是AC、AB、CD、MN的中点,AD=BC,求证：PQ垂直MN 在△ABC中,BE,CD是角平分线,且P是DE的中点.PQ⊥BC于Q,PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,求证PQ=PM+P 在梯形ABCD中,AD‖BC,M、N、P、Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.求证：MN与PQ互相垂直平分在矩形ABCD中,M.N分别是AD.BC的中点,P.Q分别是BM.DN的中点.求证:三角形MBA≌三角形NDC. 如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,Q,P,分别是AD,BC,BD,AC的中点,试说明MN与PQ相互平分如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点,试说明：MN与PQ互相垂直平如图,△ABC中,AC>AB,在AC上取CD=AB,M为AD的中点,N是BC中点,延长NM交BA的延长线于E.求证：AM 四边形ABCD中,AB=CD,MN分别是AD,BC的中点,NM的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：角BP 已知在四边形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,点P、Q分别是AC、BD的中点,且AB=CD,求MN垂直PQ