已知函数f（x）=lnxx+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 22:50:21

已知函数f（x）=

lnx

+ax+b

（Ⅰ）证明：由f（x）=
lnx
x+ax+b，得
f′(x)＝
1−lnx
x2+a．
由函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l平行，且l得斜率为
1
2，
∴f′(1)＝
1
2，即1+a=
1
2，∴a=-
1
2．
∴f′(x)＝
1−lnx
x2−
1
2＝
2−2lnx−x2
2x2，
∵f′(1)＝
1
2＞0，f′(e)＝−
1
2＜0，
y=2-2lnx-x²在（1，e）上单调递减，
∴f′（x）在区间（1，e）存在一个零点，设为x₀，
则x₀∈（1，e），且f′（x₀）=0．
当x∈（1，x₀）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，x₀）上单调递增；
当x∈（x₀，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（x₀，e）上单调递减．
∴当x=x₀时，函数f（x）取得最大值．
故函数f（x）在区间（1，e）上存在最大值；
（Ⅱ）由g（x）=xf（x）+c=lnx−
1
2x2+bx+c≤0恒成立，
∴c≤
1
2x2−bx−lnx．
记h1(x)＝
1
2x2−bx−lnx(x＞0)，则c=[h₁（x）]_min．
h1′(x)＝x−b−
1
x，令h1′(x)＝0，得x²-bx-1=0．
∴x＝
−b±
b2+4
2．
∵b∈(0，
3
2)，x1＝