计算求二重积分∫∫（1-y²）^1/2 dσ,其中D是由.x²+²=1与y=|x|所围的平

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 01:30:24

计算求二重积分∫∫（1-y²）^1/2 dσ,其中D是由.x²+²=1与y=|x|所围的平面区域

自己画图：积分区域关于y轴对称,而被积函数关于x是偶函数,因此
∫∫（1-y²）^1/2 dσ 积分区域为D
=2∫∫（1-y²）^1/2 dσ 积分区域为D的第一象限部分
用极坐标,（1-y²）^1/2=（1-sin²θ）^1/2=|cosθ|
=2∫∫ rcosθ drdθ 由于第一象限余弦为正,绝对值可去掉
=2∫[π/4---->π/2]cosθdθ ∫[0--->1] r dr
=2sinθ |[π/4---->π/2] * (1/2)r² |[0--->1]
=(1-√2/2)(1-0)
=1-√2/2
再问：可是答案是2-√2
再答：我做错了，（1-y²）^1/2=（1-sin²θ）^1/2这个是不对的，应该是（1-y²）^1/2=（1-r²sin²θ）^1/2 ∫（1-y²）^1/2 dσ 积分区域为D =2∫∫（1-y²）^1/2 dσ 积分区域为D的第一象限部分用极坐标，（1-y²）^1/2=（1-r²sin²θ）^1/2 =2∫∫ r（1-r²sin²θ）^1/2 drdθ =2∫[π/4---->π/2]dθ ∫[0--->1] r（1-r²sin²θ）^1/2 dr =∫[π/4---->π/2]dθ ∫[0--->1] （1-r²sin²θ）^1/2 d(r²) =(2/3)∫[π/4---->π/2] (-1/sin²θ)(1-r²sin²θ)^(3/2) |[0--->1] dθ =(2/3)∫[π/4---->π/2] (1/sin²θ)(1-cos³θ) dθ =(2/3)∫[π/4---->π/2] csc²θ dθ-(2/3)∫[π/4---->π/2] cos³θ/sin²θ dθ =(2/3)(-cotx)-(2/3)∫[π/4---->π/2] cos²θ/sin²θ d(sinθ) =(2/3)(-cotx)-(2/3)∫[π/4---->π/2] (1-sin²θ)/sin²θ d(sinθ) =(2/3)(-cotx)-(2/3)∫[π/4---->π/2] (1/sin²θ-1) d(sinθ) =(2/3)(-cotx)+(2/3)(1/sinθ)+(2/3)sinθ |[π/4---->π/2] =0+2/3+2/3+2/3-(2/3)√2-(2/3)(√2/2) =2-√2

计算二重积分∫∫xydxdy ,其中积分区域 D是由y=x ,y=1 ,和x=2 所围成的三角形域.D 计算二重积分∫∫xydσ其中D是由直线x=0、y=0及x+y=1所围成的闭区域. 求二重积分：∫∫((根号x)+y)dxdy,其中D是由y=x,y=4x,x=1所围成的平面区域计算二重积分D∫∫xydσ,D是由直线y=1,X=2及y=x所围成的闭区域, 求二重积分∫∫xsin(y/x)dxdy,其中D是由y=x,x=1,y=0所围成的闭区域计算二重积分∫∫e^y^2dσ,其中D：y=x及y=2x,y=1所围成的闭区域求二重积分e(x/y）dxdy,其中D是由y^2=x,x=0,y=1所围成的区域. 计算二重积分∫∫ydδ ,其中D是由y=2 ,y=x及xy=1 所围成的平面区域. 计算二重积分∫∫D(2x+3y)dσ,其中D是由两坐标轴及直线x+y=1 所围成的闭区域计算二重积分∫∫D(x+y)dδ其中D是抛物线y=x^2,y=4x^2与直线y=1所围成的闭区域计算二重积分∫∫xdxdy其中D是由直线x=0、y=0及x+y=1所围成的闭区域. 计算二重积分∫∫D x^2y dxdy,其中D是由直线y=2x,y=x,x=1所围成的区域.