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计算二重积分∫∫xydxdy ,其中积分区域 D是由y=x ,y=1 ,和x=2 所围成的三角 形域.D

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 10:20:07
计算二重积分∫∫xydxdy ,其中积分区域 D是由y=x ,y=1 ,和x=2 所围成的三角 形域.D
∫ 是一个字符
D
X区域:
D:x = 2,y = 1,y = x ==> 1 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ x
∫∫_D xy dxdy
= ∫(1→2) dx ∫(1→x) xy dy
= ∫(1→2) [xy²/2]:(1→x) dx
= ∫(1→2) (x³/2 - x/2) dx
= [x⁴/8 - x²/4]:(1→2)
= (2 - 1) - (1/8 - 1/4)
= 9/8
Y区域:
D:1 ≤ y ≤ 2,y ≤ x ≤ 2
∫∫_D xy dxdy
= ∫(1→2) dy ∫(y→2) xy dx
= ∫(1→2) [yx²/2]:(y→2) dy
= ∫(1→2) (2y - y³/2) dy
= [y² - y⁴/8]:(1→2)
= (4 - 2) - (1 - 1/8)
= 9/8