设A、B均为n阶方阵,若ATA=I,BBT=I,且A的模等于(-1 )倍的B的模.求证:A+B必为奇异矩阵.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 17:34:38
设A、B均为n阶方阵,若ATA=I,BBT=I,且A的模等于(-1 )倍的B的模.求证:A+B必为奇异矩阵.
由条件知道
AA^T=A^TA=I,BB^T=B^TB=I
显然|A|=|A^T|,|B|=|B^T|
所以方阵A和B行列式的值等于1或-1
而|A|= -|B|
故|A|、|B|必为一正一负
所以 |A| *|B|= -1且|A^T| *|B^T|= -1
于是
-|A+B|
= |A^T| *|A+B|*|B^T|
= |A^T(A+B)B^T|
= |A^TAB^T+A^TBB^T|
= |B^T+A^T|
= |(A+B)^T|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
故|A+B| =0,A+B的行列式值为0
即A+B必为奇异矩阵
AA^T=A^TA=I,BB^T=B^TB=I
显然|A|=|A^T|,|B|=|B^T|
所以方阵A和B行列式的值等于1或-1
而|A|= -|B|
故|A|、|B|必为一正一负
所以 |A| *|B|= -1且|A^T| *|B^T|= -1
于是
-|A+B|
= |A^T| *|A+B|*|B^T|
= |A^T(A+B)B^T|
= |A^TAB^T+A^TBB^T|
= |B^T+A^T|
= |(A+B)^T|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
故|A+B| =0,A+B的行列式值为0
即A+B必为奇异矩阵
A为n阶方阵,I为n阶单位矩阵,若A^2=A且A不等于I.证明A必为奇异矩阵
设A,B均为n阶方阵,I为n阶单位矩阵,若A=1/2(B+I),则A的平方=A的充要条件是B的平方=I
设A、B均为n阶方阵,I为n阶单位矩阵,若A+B=AB,求证AB=BA
设A,B都是N阶方阵,I为N阶单位矩阵,且B=B^2,A=I+B,证明A可逆
设A,B都是N阶方阵,I为N阶单位矩阵,且B=B2,A=I+B,证明A可逆
设A B为n阶矩阵,且A B AB-I可逆,证明:A-(B的逆)可逆
设A,B,C均为n阶方阵,且ABC=I,则( )
设A,B为n阶方阵,且A=1/2(B+In),证明A的平方等于A的充分必要条件是B的平方等于I
如果A,B都为正交矩阵,且detA=-detB求证A+B为奇异方阵
设矩阵A=aaT+bbT,这里a,b为n维向量.证明:(1)R(A)
如果实方阵a满足aat=ata=i 则称a为正交矩阵 设a b为同阶正交矩阵 证明:at是正交矩阵;a
设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA