五次对称多项式怎么由轮换对称性得知另两个因式

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/10 16:12:04

五次对称多项式怎么由轮换对称性得知另两个因式
（a+b+c)5-a5-b5-c5

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5.
由x^5-y^5 = (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4),可知b+c = (a+b+c)-a是(a+b+c)^5-a^5的因子.
又由x^5+y^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4),可知b+c是-b^5-c^5的因子.
因此b+c是(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的因子.
由对称性,a+b,c+a都是(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的因子.
(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 = (a+b)(b+c)(c+a)·f(a,b,c).
其中f(a,b,c)是关于a,b,c的2次齐次对称多项式.
可设f(a,b,c) = s·(a^2+b^2+c^2)+t·(ab+bc+ca).
代入a = b = c = 1得240 = 3^5-1-1-1 = 2^3·f(1,1,1) = 8·(3s+3t),即s+t = 10.
代入a = 0,b = c = 1得30 = 2^5-0-1-1 = 2·f(0,1,1) = 2·(2s+t),即2s+t = 15.
解得s = t = 5,于是(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 = 5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca).
再问：其中f(a,b,c)是关于a, b, c的2次齐次对称多项式. 可设f(a,b,c) = s·(a^2+b^2+c^2)+t·(ab+bc+ca) 这一步怎么得到？
再答：关于a, b, c的2次单项式只有a^2, b^2, c^2, ab, bc, ca六种. 由对称性, 若a^2项的系数为s, 则b^2, c^2项的系数也都为s. 若ab项的系数为t, 则bc, ca项的系数也都为t. 因此可设f(a,b,c) = s·(a^2+b^2+c^2)+t·(ab+bc+ca).

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