求证:1+3+3^2+...+3^99能被8整除
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 03:00:14
求证:1+3+3^2+...+3^99能被8整除
这个问题能否用二项式定理的知识解答?
这个问题能否用二项式定理的知识解答?
1+3+3^2+...+3^99
=(3^100-1)/2
=(3^50+1)(3^50-1)/2
=(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)/2
3^50+1,3^25+1,3^25-1均是偶数
又因为3^25+1,3^25-1是相邻的两个偶数,所以其中有一个是4的倍数,所以分母是
2*2*4=16的倍数,所以
(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)/2能被8整除
即1+3+3^2+...+3^99能被8整除
=(3^100-1)/2
=(3^50+1)(3^50-1)/2
=(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)/2
3^50+1,3^25+1,3^25-1均是偶数
又因为3^25+1,3^25-1是相邻的两个偶数,所以其中有一个是4的倍数,所以分母是
2*2*4=16的倍数,所以
(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)/2能被8整除
即1+3+3^2+...+3^99能被8整除
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