如图,D为等边△ABC外一点,连结DA、DC、DB,若∠BDA=∠BCA,求证AD=BD+CD
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 14:32:07
如图,D为等边△ABC外一点,连结DA、DC、DB,若∠BDA=∠BCA,求证AD=BD+CD
解题结果:
如图所示,延长DB至E,使得DE=DA,连接AE
(第一步证明 △AED为等边三角形,这样就可以将所求证的问题转化,为下一步做准备)
由于∠EDA为60度,DE=DA,所以 △AED为等边三角形(由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)
(第二步证明 △AEB和 △ADC全等,这样就可以将CD“挪动”到BE处,和BD连接起来,从而达到求证结果)
因为AE=AD(第一步证明得出的隐含条件),AC=AB(题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件),∠EAB=∠DAC(因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度),所以 △AEB与 △ADC全等(两边夹一角定理),所以CD=BE(最后证明结论)
所以AD=DE=BD+BE=BD+CD,即AD=BD+CD,证明完毕
解题思路:
看到此图,首先从直觉上感受,△ABC是个等边三角形这个条件,和另一个条件角BDA=角BCA没有联系,而且可以通过直觉看出,D点的位置不是一定的.而所证明的AD=BD+CD很难找到突破口.
笔者首先是从代数的角度算出每个线段之间的等式,需要用到三角函数,可以计算出.但从这道题的出题用意看不应该是此类作答方式,那么笔者就从几何角度另寻出路.
证明AD=BD+CD,类似这样证明一个长线段的长度与两个段线段相等的题目,经常使用的思路就是,将两条短线段拼接起来,然后和长线段对比,拼接起来的方式有很多,但从初中和高中的题目上看,多数是用:三角形全等,圆的直径转换,平行四边形对边 等等.直觉告诉我们可以尝试用三角形全等解此题.
那么就需要延长CD造BD,或延长DB造CD,很多方式,但发现其他延长的方法不能让AD和作出的线段有共同的顶点,很难证明.发现题目中∠BDA=∠BCA=60度这一隐含条件可以用到,故在这个角上做文章,延长DB作出一个等边三角形.
那么问题就转化了成了CD=BE,可以尝试证明包含这两条线段的两个三角形全等,经过筛选,目光落在△ABE和△ADC上.最后条件推得,果然全等,那么解体顺利结束.
题外话:此题也可以求证:DA是∠BDC的平分线,解体思路相同.
Imagination is more important than knowledge. ---爱因斯坦
再问: 噢噢。。
如图所示,延长DB至E,使得DE=DA,连接AE
(第一步证明 △AED为等边三角形,这样就可以将所求证的问题转化,为下一步做准备)
由于∠EDA为60度,DE=DA,所以 △AED为等边三角形(由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)
(第二步证明 △AEB和 △ADC全等,这样就可以将CD“挪动”到BE处,和BD连接起来,从而达到求证结果)
因为AE=AD(第一步证明得出的隐含条件),AC=AB(题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件),∠EAB=∠DAC(因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度),所以 △AEB与 △ADC全等(两边夹一角定理),所以CD=BE(最后证明结论)
所以AD=DE=BD+BE=BD+CD,即AD=BD+CD,证明完毕
解题思路:
看到此图,首先从直觉上感受,△ABC是个等边三角形这个条件,和另一个条件角BDA=角BCA没有联系,而且可以通过直觉看出,D点的位置不是一定的.而所证明的AD=BD+CD很难找到突破口.
笔者首先是从代数的角度算出每个线段之间的等式,需要用到三角函数,可以计算出.但从这道题的出题用意看不应该是此类作答方式,那么笔者就从几何角度另寻出路.
证明AD=BD+CD,类似这样证明一个长线段的长度与两个段线段相等的题目,经常使用的思路就是,将两条短线段拼接起来,然后和长线段对比,拼接起来的方式有很多,但从初中和高中的题目上看,多数是用:三角形全等,圆的直径转换,平行四边形对边 等等.直觉告诉我们可以尝试用三角形全等解此题.
那么就需要延长CD造BD,或延长DB造CD,很多方式,但发现其他延长的方法不能让AD和作出的线段有共同的顶点,很难证明.发现题目中∠BDA=∠BCA=60度这一隐含条件可以用到,故在这个角上做文章,延长DB作出一个等边三角形.
那么问题就转化了成了CD=BE,可以尝试证明包含这两条线段的两个三角形全等,经过筛选,目光落在△ABE和△ADC上.最后条件推得,果然全等,那么解体顺利结束.
题外话:此题也可以求证:DA是∠BDC的平分线,解体思路相同.
Imagination is more important than knowledge. ---爱因斯坦
再问: 噢噢。。
如图,已知三角形ABC为等边三角形,D是三角形ABC外一点,连接DB、DA、DC,若∠BDA=∠ADC=60?咸S
如图:D为等边△ABC内一点,DA=DB,BP=BC,∠BPD=30°.求证:BD平分∠PBC.
如图,△ABC中,AB=AC,D是△ABC内一点,连接AD、BD、CD,∠ADB=∠ADC,求证:DB=DC.
如图,D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,∠BPD=30°.求证:BD平分∠PBC
已知D点是等边三角形ABC外一点,∠BDA=60,求证:BD+CD=AD
已知:如图,在△ABC中,点D为AC上一点,CD:AD=1:2,BCA=45°,BDA=60°,AE垂直BD,点E为垂足
点D是正三角形ABC所在平面外一点,且DA=DB=DC,又EFGH分别为BC,AD,AB,CD,中点,求证,EF=GH
如图,D是等边△ABC外一点,DB=DC,∠BDC=120o,点E、F分别在AB、AC上,求证若角edf=60°,则ef
如图 D是△ABC的外角∠EAC的平分线AF上一点 连接BD、CD 求证AB AC<DB DC
已知,如图△ABC中,D是AB上的一点,且CD=BD求证1.AB>AC 2.AB+AC>DB+DC
如图,三角形ABC是等边三角形,D是三角形外的一点,且∠ABC+∠ACD=180度求证:BD+DC=DA
如图 已知D是△ABC内任意一点 连接BD,CD 求证AB+AC>DB+DC