如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/02 02:43:46

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面PAB；
（2）设二面角A-PB-C的大小为θ，求cosθ的值．

（本题15分）
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABC，

所以PA⊥CM．┅（3分）
因为△ABC是正三角形，
M是AB的中点，所以CM⊥AB．┅（6分）
所以，CM⊥平面PAB．┅（7分）
（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图．

AP＝(0，0，3)，

AC=（2
3，2，0）．
设

n=（x，y，z）是平面APC的法向量，
则

n•

AP＝3z＝0

n•

AC＝2
3x+2y＝0，取x=1，得

n=（1，-
3，0）．┅（10分）

BP＝(0，−4，3)，

BC＝(2
3，−2，0)．
设

m＝(a，b，c)是平面BPC的法向量，
则

m•

BP＝−4b+3c＝0

m•

BC＝2
3a−2b＝0，取a=
3，得

m＝(
3，3，4)．┅（13分）
故cosθ=|cos＜

m，

n＞|=
2
3
2×2
7=

21
14．┅（15分）

三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______ 在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥体积为如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E、F分别是棱BC、PC的中点．已知如图,三棱锥P－ABC中,PA垂直于底面ABC,AC垂直于BC,M,N分别是AB和PB的中点. 在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中,AB=4,PA=8, 在三棱锥p-ABC中,底面AC是边长为4的正三角形,PA=PC=2根号3,侧面PAC垂直ABC,M.N分别为AB.PB的如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点．如图,已知凌锥P-ABC的底面是边长为6的正三角形,侧棱PA⊥底面ABC.且PA=3根号3求(1)三棱锥P-ABC的体积如图，在三棱锥P-ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA=2AB,PA⊥平面ABC 在三棱锥P-ABC中,底面ABC为直角三角形,AB=BC,PA⊥平面ABC 如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1PA=2