（2013•太仓市二模）探究与应用．试完成下列问题：

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 16:10:56

（2013•太仓市二模）探究与应用．试完成下列问题：
（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB的中点，作∠POQ=90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP²+BQ²=PQ²；
（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ=90°，试探索上述结论AP²+BQ²=PQ²是否仍成立；
（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB中点，
∴AO=OC=OB，∠A=∠B=∠OCQ=45°，∠AOC=90°，
∵∠POQ=90°，
∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中

∠A＝∠OCQ
AO＝OC
∠AOP＝∠COQ
∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
同理BQ=CP，
在Rt△CPQ中，CP²+CQ²=PQ²，
∴AP²+BQ²=PQ²．

（2）还成立，
理由是：延长QO到D，使OD=OQ，连接AD，PD，
∵O是AB中点，
∴AO=OB，
在△AOD和△BOQ中

AO＝BO
∠AOD＝∠BOQ
DO＝OQ
∴△AOD≌△BOQ（SAS），
∴AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，
∵PO⊥OQ，
∴PD=PQ，
∵∠C=90°，
∴∠PAD=90°，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP²+AD²=PD²，
∴AP²+BQ²=PQ²．

（3）∵∠C=90°，
∴PQ是直径，
连接PO、OQ，则∠POQ=90°，
∴AP²+BQ²=PQ²，
设PC=a，CQ=b，
∴（6-a）²+（8-b）²=a²+b²，
∴3a+4b=25，
∴b=-
3
4a+
25
4，
∵S_△PCQ=
1
2ab，
∴S_△PCQ=-
3
8a²+
25
8，
当a=
25
6时，△PCQ的面积的最大值是
625
96．

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