作业帮求数学学霸看看下面这道三重积分题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 01:18:03
求数学学霸看看下面这道三重积分题
方法一：高斯公式.
补充平面∑1:z=0(x^2+y^2≤4),取上侧.则∫∫(∑-∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫∫(z+0)dxdydz=4π.∫∫(∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π.所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=4π+8π=12π.
方法二：上半球面上侧的法向量n=(x,y,z),所以dzdx=y/zdxdy,所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) (y^2+2)dxdy=∫∫(D) (y^2+2) dxdy=12π,其中D是x^2+y^2≤4.
方法三：∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π.∑分为两部分∑1:y=√(4-x^2-z^2),取右侧；∑2:y=-√(4-x^2-z^2),取左侧.∑1与∑2:在zox面上的投影都是D:x^2+z^2≤4,z≥0.∫∫(∑) yzdzdx=∫∫(∑1) yzdzdx+∫∫(∑2) yzdzdx=2∫∫(D) z×√(4-x^2-z^2)dzdx=4π.所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=12π..
补充平面∑1:z=0(x^2+y^2≤4),取上侧.则∫∫(∑-∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫∫(z+0)dxdydz=4π.∫∫(∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π.所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=4π+8π=12π.
方法二：上半球面上侧的法向量n=(x,y,z),所以dzdx=y/zdxdy,所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) (y^2+2)dxdy=∫∫(D) (y^2+2) dxdy=12π,其中D是x^2+y^2≤4.
方法三：∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π.∑分为两部分∑1:y=√(4-x^2-z^2),取右侧；∑2:y=-√(4-x^2-z^2),取左侧.∑1与∑2:在zox面上的投影都是D:x^2+z^2≤4,z≥0.∫∫(∑) yzdzdx=∫∫(∑1) yzdzdx+∫∫(∑2) yzdzdx=2∫∫(D) z×√(4-x^2-z^2)dzdx=4π.所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=12π..