（2014•江西二模）已知函数f（x）=x3-ax2+2（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 17:03:18

（2014•江西二模）已知函数f（x）=x³-ax²+2（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-

（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
①a＞0时，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
2
3a，
∴f（x）在（0，
2
3a）递减，
②a=0时，f′（x）=3x²，无递减区间，
③a＜0时，令f′（x）＜0，解得：
2
3a＜x＜0，
∴f（x）在（
2
3a，0）递减．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-2ax，
∴3x²-2ax≥|x|-
3
4，
①x≥0时，
3x²-（2a+1）x+
3
4≥0，
△=（2a+1）²-4×3×
3
4≤0，
解得：-2≤a≤1，
②x＜0时，
3x²-（2a-1）x+
3
4≥0，
△=（2a-1）²-4×3×
3
4≤0，
解得：-1≤a≤2，
综上，a的范围是：{a|-1≤a≤1}．
（Ⅲ）设线与与直线x=2有公共点为P（2，t），
a=0时，f（x）=x³+2，f′（x）=3x²，
在曲线y=f（x）上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点，
f′(x1)＝3x12，∴以A为切点的切线方程为y-x₁³-2=3x₁²（x-x₁），
∵点P（2，t）在切线上，∴t-x13-2=3x12（2-x₁），即2x13-6x 12+t-2=0，
同理2x23−6x22+t−2＝0，
设g（x）=2x³-6x²+t-2，
则原问题等价于函数g（x）至少有两个不同的零点，
∵g′（x）=6x²-12x=6（x-2）x，
当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）在x=0处取得极大值g（0）=t-2，在x=2处取得极小值g（2）=t-10，
若要满足g（x）至少有两个不同的零点，
则需满足

t−2≥0
t−10≤0

已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．已知函数f(x)＝13x3+12ax2+bx，a，b∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．（2014•东莞二模）已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R．已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．（2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．已知函数f(x)=13x3-ax2+bx．（a，b∈R）（2011•重庆模拟）已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．已知函数f（x）=23x3−2ax2-3x（a∈R）．已知函数f(x)＝13x3−ax2+1（a∈R）．已知函数f（x）=x3-ax2-3x