正四棱柱ABCD-A1B2C3D4中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC ⑴证明A1C⊥平面BED,⑵求

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 17:34:55

正四棱柱ABCD-A1B2C3D4中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC ⑴证明A1C⊥平面BED,⑵求二面角A1-DE-B的大小

证明：连AC,BD交于点M,ME为平面ACC1A1与平面BDE的交线,设A1C过平面DEB交于点F则F必在交线ME上
（平面ACD与直线BD）
∵AC⊥BD,AA1⊥平面ABCD=>AA1⊥BD
AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C ∴BD⊥A1C
（平面ACC1A1内,RT△MCE与RT△AA1C）
CE：AC=1：2√2=CM：AA1=√2:4
所以△MCE∽△AA1C=>∠CME=∠AA1C ∠MEC=∠CME
所以∠CFM=∠CAA1=90°即A1C⊥ME
BD∩ME=M所以A1C⊥平面BDE
（2）
A1C⊥平面BDE 得A1C⊥DE
过F作DE垂线交DE与P则FP⊥DE A1F⊥DE A1F∩FP=F得DE垂直平面A1FP
所以DE⊥A1P
那么∠FPA1即为所求二面角
（求A1F长度）
在平面ACC1A1内
△ CFE∽△CC1A1 A1C=√（（2√2）²+4²）=2√6
设CF长为x
则x：4=1：2√6 解得x=√6/3
所以A1F=A1C-CF=2√6-√6/3=5√6/3
（求PF长度）
△ BDE为等腰三角形 M为中点所以∠EMD=∠FPE=90°
∠FEP=∠PEF 所以△PEF∽△DME
PF：DM=FE：DE DE=√（1+2² ）=√5
FE在△CEF中长为√（1²-（√6/3）²）=√3/3
DM=√2 解得PF=√30/15
(求A1P长度)
A1P为△A1DE的高
DE=√5 DA1=√（2²+4²）=2√5 A1E=√（C1E²+A1C²）=√（（2√2）²+3²）=√17
由余弦定理
Cos∠EDA1=（（√5 ）²+（2√5）²- （√17）²）/（2×√5×2√5）=2/5
所以sin∠EDA1=√（1-（2/5）²）=√21/5
S△A1DE=1/2×A1D×DE×sin∠EDA1=1/2×DE×A1P
解得A1P=2√105/5
（求角FPA1）
△A1PF中 cos∠FPA1=（（√30/15）²+（2√105/5）²-（5√6/3）²）/（2×√30/15×2√105/5）=√14/42
所以所求二面角为arccos√14/42

如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC 正四棱柱ABCD~A1B1C1D1中 AA1＝2 AB＝4 点E在CC1上且C1E＝3EC 点F在BB1上且BF＝B ?正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上,且CE=λCC1 (1)λ为何值时,A1C垂在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AA1=2,AB=1,点E是棱CC1的在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是棱CC1上的点,且CE=四分之一CC1.求证A1C垂直于平面BDE 高一数学, 证明题,求高手在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中 AB=2 AA1=根号2 点E是菱DD1的中点已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,点E为CC1的中点,点F为BD1的中点. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点E、F分别是CC1、BD1的中点在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为AD中点,F为CC1中点.(1)求证AD垂直D1F(2) 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,点E为CC1的中点,点F为BD1的中点.