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如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形 角ABC=60 BC=2AB PA垂直于底面ABCD

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 23:55:26
如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形 角ABC=60 BC=2AB PA垂直于底面ABCD
（1）求证PB垂直于AC
(2)若PA=AB=1时,求二面角B-PC-D的余弦值
（3）当PA=AB=1时,在线段AD上是否存在一点E使二面角E-PC-A为60度,若存在试确定点E的位置；若不存在,请说明理由
（1）等价于求证AC⊥平面PAB,所以只需要证明AC⊥AB即可.一直BC,AB,角ABC=60 ,所以很容易想到用余弦定理.算出AC^2=3,所以△ABC的三条边满足勾股定理,并且AC是直角边,所以PB垂直于AC
（2）过A点做AF⊥PC交PC于F,链接BF,于是二面角B-PC-D的余弦值就等于角BFA的余弦值的相反数（容易证明DC⊥平面PAC,然后再利用分解的方法,把二面角B-PC-D拆成角BFA和角DCP之和即可）AB=1 PC=BC=2,所以AF^2=3/4,所以（cosAFB）^2=3/7,二面角B-PC-D的余弦值等于七分之三开二次根号之后取负即可
（3）容易知道E在AD上运动时,二面角E-PC-A在0到90°之间,E点肯定存在.我们取平面PAD上一点G,链接FG,让FG垂直PC,并且角AFG=60°（G点是一定存在的）,连接PG并延长,和AD教育一点H,那么H点就是我们要找的E点.
如果用纯粹几何的方法来求,比较麻烦了,所以下面我们换一种方法,用坐标的方法.在A点建立直角坐标系进行坐标化AD为y轴,AP为z轴（x轴用右手定理来确定就可以了）,设E(0,n,0),于是PE=(0,n,-1),同时写出CE的坐标CE=(-【3/4】^0.5,n-1.5,0),然后利用向量的叉积,写出两个平面的方向向量坐标π1=（n-1.5,【3/4】^0.5,n*[【3/4】^0.5]）,π2就是B点的坐标(（3/4）^0.5,-0.5,0）最后再利用两方向向量夹角为60°或120°,求出n=6（舍掉）或者1.2,所以n=1.2
再问： （2）（3）问不怎么看得懂啊....
再答： 关于第二个问，二面角B-PC-D分解为两个二面角：B--PC--A和D--PC--A两个二面角之和。而DC⊥AC，PA垂直AC，所以D--PC--A就是90°，然后根据三角变换容易知道cos（90°+B-PC-D）=-cos（B-PC-D） 第三道题我没有用中学的空间解析几何方法（仅仅在前面做出了图形，但是没有计算），计算的时候用了大学里面的一点知识。两平面的夹角就是他们方向向量的夹角或者补角，后面用的就是向量叉积的坐标计算方法了，你稍微看一下高等数学空间解析几何那一部分知识就会知道。
如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60度,AB=2AD,PD垂直于底面ABCD.证明PA垂 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60度,AB=2AD ,PD垂直底面ABCD.(1)证明PA垂 在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是菱形,角ABC=60度,PA垂直平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点 在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PA=AB=AC=2,底面ABCD是平行四边形,且角ABC=派/4,若M, 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=45度,DC=1AB=2 PA垂直平面ABCD 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD角ABC等于45度,DC=1AB=2 PA垂直平面ABCD 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形向量AB=(2,-1,-4)向量AD等于（4.2.0）求证PA垂直于平 如图,四棱锥P-abcd中,底面abcd是平行四边形,且ab=ad.Pd垂直于底面abcd,证明pb垂直ac（2）若Pd 已知四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,角ADC为直角,AD平行于BC,AB垂直于AC 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//DC,角ABC=45度,DC=1,AB=2,PA垂直平面ABC 四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PC垂直AD,底面ABCD为梯形,AB//DC,AB垂直BC,PA=AB=B 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA垂直底面abcd,AB=根号三,BC=1PA=2