1.已知x＞0,则x+1/x取最小值时,x=?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/15 02:42:38

1.已知x＞0,则x+1/x取最小值时,x=?
2.y=丨x+1丨-丨x-2丨的最大值和最小值为?
第一题解释清楚点

1.x=1
x+1/x≥2√(x*1/x)=2
当且仅当x=1/x时,等号成立
即x=1
2.最大值3,最小值-3
根据式子的几何意义求解,即y表示x轴上一点,到(-1,0)和(2,0)两点的距离之差.
当此点与(-1,0)重合时,y有最小值-3
与(2,0)重合时,y有最大值3
详解第一题（√ 就是根号的意思）
均值不等式：a+b≥2√(a*b)
当且仅当a=b时,a+b有最小值2√(a*b)
然后就套用这个定理咯.
再问：第一题可以不用均值不等式求吗？没学过这个均值不等式
再答：可以用函数的办法。设f(x)=1+1/x，x＞0 在(0，+∞)上，任取x1，x2，使△x=x1-x2＜0 则 △y=f(x1)-f(x2) =x1-x2+1/x1-1/x2 =x1-x2-(x1-x2)/x1*x2 =(x1*x2-1)(x1-x2)/(x1*x2) ∵x1-x2＜0，x1*x2＞0 ∴x1*x2＞1时，△y＜0，f(x)单调递增 x1*x2＜1时，△y＞0，f(x)单调递减 ∵x1＞1，x2＞1时， x1*x2＞1，f(x)单调递增 ∴f(x)在(1,+∞)上单调递增 ∵0x1＜1，0x2＜1时， 0＜x1*x2＜1，f(x)单调递减 ∴f(x)在(0,1)上单调递减 ∴f(x)在x=1处有最小值所以x+1/x的最小值为f(1)=2
再问： ∵0x1＜1，0x2＜1时， 0＜x1*x2＜1，f(x)单调递减 ∴f(x)在(0,1)上单调递减这里的第一步是怎么来的？第2第3步又是为什么？谢谢了
再答：有几个打错了啊，第二行f(x)=x+1/x，倒数第五行∵0＜x1＜1，0＜x2＜1时因为算到这一步之后，发现f(x)不能在整个定义域内单调，那就只能去寻找单调区间，即寻找x1，x2属于某区间，让f(x)单调上面求出x1*x2-1的正负可以决定f(x)的单调性，于是就讨论x1*x2与1的相对大小，x1*x2比1大就单调增了，比1小就单调减了。就能推导出x1,x2属于(1,+∞)时，f(x)单调递增，属于(0,1)时，单调递减。增减性这个是定义法做的，你应该学过吧？ △x*△y＞0，函数单调递增； △x*△y＜0，函数单调递减；不妨设△x＜0，然后讨论△y的正负

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