作业帮与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 19:28:49
与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切
这种题目计算冗繁,不过我还是帮你解答一下吧.
圆x^2+y^2=1 过椭圆焦点,所以c=1
此时它 ,与椭圆仅有2个公共点,那么必然有此圆的半径=椭圆的短轴长（否则四个交点)
所以c=b=1 a^2 = 2 椭圆方程：x^2/2+y^2=1
设A（x1,y1),B(x2,y2)
OA ·OB = x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2*(1+k^2)+mk(x1+x2)+m^2.1&
将 y=kx+m 带入 x^2+2y^2=2
有(1+2k^2)x^2+4kmx+2(m^2-1) = 0 得到x1x2=2(m^2-1)/(1+2k^2) ,x1+x2 = -4km(1+2k^2)带入 1&
有OA ·OB=(3m^2-2(k^2+1))/(1+2k^2).2&
但是 y=kx+m 与x^2+y^2=1相切,就等价于m^2=k^2+1
所以2& 就化简为 2/3≤OA ·OB=(k^2+1)/(2k^2+1)=1/2+1/2(2k^2+1)≤3/4 (K不存在时不满足,易证）
所以 1/2≤k^2≤1 k∈[-1,-√2/2]∪[√2/2,1]
O到直线AB的距离是1,其实也就是三角形AOB的高是1
SΔABC=1*AB=√(1+k^2) * |x1-x2|
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4x1x2 = [16k^2m^2-8(m^2-1)(2k^2+1)]/(1+2k^2)^2
=8[2k^2m^2-2k^2m^2-m^2+1+2k^2]/(1+2k^2)^2 (m^2=k^2+1)
=8k^2/(2k^2+1)^2
AB^2 = 8k^2(1+k^2)/(1+2k^2)^2=8[(k^4+k^2+1/4)-1/4]/(1+4k^2+4k^4)
=8* 1/4[ 1-1/(2k^2+1)^2]
此时,令t =2k^2+1 1/2≤k^2≤1 有 2≤t≤3
f(t) = t-1/t^2 在[2,3] 上是单调增函数
所以,AB^2min = 2(1-1/4) = 3/2 ;AB^2max = 2(1-1/9)=16/9
所以,SΔABCmin = √6/2 ,SΔABCmax=4/3
再问： 第三问的AB^2算得是对的啊 只是三角形面积要乘1/2吧
再答： 恩，疏忽了，你乘一下1/2 好了~最开始答题的时候是深夜，想修改答案搞了半天没显示。睡醒后才改好的，呵呵~所以你现在看到的AB是对的
圆x^2+y^2=1 过椭圆焦点,所以c=1
此时它 ,与椭圆仅有2个公共点,那么必然有此圆的半径=椭圆的短轴长（否则四个交点)
所以c=b=1 a^2 = 2 椭圆方程：x^2/2+y^2=1
设A（x1,y1),B(x2,y2)
OA ·OB = x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2*(1+k^2)+mk(x1+x2)+m^2.1&
将 y=kx+m 带入 x^2+2y^2=2
有(1+2k^2)x^2+4kmx+2(m^2-1) = 0 得到x1x2=2(m^2-1)/(1+2k^2) ,x1+x2 = -4km(1+2k^2)带入 1&
有OA ·OB=(3m^2-2(k^2+1))/(1+2k^2).2&
但是 y=kx+m 与x^2+y^2=1相切,就等价于m^2=k^2+1
所以2& 就化简为 2/3≤OA ·OB=(k^2+1)/(2k^2+1)=1/2+1/2(2k^2+1)≤3/4 (K不存在时不满足,易证）
所以 1/2≤k^2≤1 k∈[-1,-√2/2]∪[√2/2,1]
O到直线AB的距离是1,其实也就是三角形AOB的高是1
SΔABC=1*AB=√(1+k^2) * |x1-x2|
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4x1x2 = [16k^2m^2-8(m^2-1)(2k^2+1)]/(1+2k^2)^2
=8[2k^2m^2-2k^2m^2-m^2+1+2k^2]/(1+2k^2)^2 (m^2=k^2+1)
=8k^2/(2k^2+1)^2
AB^2 = 8k^2(1+k^2)/(1+2k^2)^2=8[(k^4+k^2+1/4)-1/4]/(1+4k^2+4k^4)
=8* 1/4[ 1-1/(2k^2+1)^2]
此时,令t =2k^2+1 1/2≤k^2≤1 有 2≤t≤3
f(t) = t-1/t^2 在[2,3] 上是单调增函数
所以,AB^2min = 2(1-1/4) = 3/2 ;AB^2max = 2(1-1/9)=16/9
所以,SΔABCmin = √6/2 ,SΔABCmax=4/3
再问： 第三问的AB^2算得是对的啊 只是三角形面积要乘1/2吧
再答： 恩，疏忽了，你乘一下1/2 好了~最开始答题的时候是深夜，想修改答案搞了半天没显示。睡醒后才改好的，呵呵~所以你现在看到的AB是对的
若直线Y=KX+1,K属于R与椭圆X^2/5+Y^2/M=1,恒有公共点,求M范围
椭圆x^2/5+y^2/m=1与直线y=kx+1恒有公共点,求m的取值范围?
若直线y=kx+2与双曲线x^2-y^2=6仅有一个公共点,则k
直线y=x+b与曲线x=根号下1-y^2有且仅有一个公共点,则b的取值范围是什么
直线y=kx+1(k∈R) 与椭圆x²/5+y²/m=1恒有公共点,求m的取值范围
过p(0,-1)的直线与双曲线x^2-y^2/3=1有且仅有一个公共点,求该直线的方程.
过p(0,1)的直线l与双曲线x^2-y^2/3=1有且仅有一个公共点,求直线l的方程.
直线l过点（根号2,0）且与双曲线x²-y²=2有且仅有一个公共点,求直线条数
过点（0,2）与双曲线x^2/9-y^2/16=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围
过点（3,4）与双曲线x^2/9-y^2/16=1,有且仅有一个公共点的直线方程的条数
已知命题P:直线y=kx+b与椭圆x^2/5+y^2/a=1,恒有公共点；命题Q：不等式
直线y=kx+1与圆x^2+y^2=m恒有公共点,求m取值范围,