关于【介值定理】到底用在开区间还是闭区间?此题目是别人写在网上的,不过恰好和我的问题一样,故借用.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 22:11:00

关于【介值定理】到底用在开区间还是闭区间?此题目是别人写在网上的,不过恰好和我的问题一样,故借用.
同济的教材上,定理表述为闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在端点处具有不同的函数值f(a)=A,f(b)=B,A不等于B.C是A与B之间任意一个数,则在开区间（a,b）内至少存在一点ξ使得f(ξ)=C问题1：C是A与B之间任意一个数,这句话的意思是C∈闭区间[A,B],还是C∈开区间(A,B)?为什么定理表述中ξ在开区间（a,b）内存在而不是在闭区间?是因为端点函数值A≠B吗?但是同济的教材上在证明闭区间上连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的一切值时,设m=f(x1),M=f(x2),标注了m≠M,然后却说,在闭区间[x1,x2]上应用介值定理得上述推论,这不矛盾么?上一段中,介于最大值M与最小值m之间,意味着是开区间还是闭区间?陈文灯的指南里对于介值定理的描述是,μ是介于两个端点值之间的一切实数,则在【闭区间】上存在一点ξ,使得μ等于f(ξ).这个描述和教材上的区别是没有指出端点值相等于否,那么在考试的时候,应用介值定理ξ到底是在开区间还是闭区间存在?

两个端点的值已经确定了,一个是A,另一个是B.所以这两个端点就不可能再去取A和B之间的某个值C了.例如f（a）=1,f（b）=5,取C=1和5之间的某个数,例如取3,那么等于3 的点可能是a和b这两个端点吗?当然不可能理论.所以等于3的点只能是开区间（a,b）里面的点了.

至于如果A=B,那么A、B之间的值只有1个,那就是A,当然,也就是B了.那么两个端点就都等于这个值了.
再问：我给你发私信了，我的内容太多，百度说超出字数。谢谢
再答：我可以告诉你为什么书本上是说（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。而不是说对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。因为A、B这两个端点值没有讨论的意义。首先根据题意，x=a时，f（a）=A，x=b时，f（b）=B。这是两个已经确定了的点。而在（a，b）这个开区间内，不一定还有其他的x能使得f（x）=A或=B。所以书本上是说（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。就是表明我们对于还没确定函数值的（a，b）内的x，可以估计一个函数值的可能性。但是按照你们老师说的对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。方式，就模糊了A、B这两个函数值是在两个端点这两个确定的点上取到的情况。将A、B和AB之间的值都混同到一起，只知道是【a，b】内取值，而不知道是哪一点取值了。这是将原本清晰的f（a）=A和f（b）=B模糊化为【a，b】内至少存在一个ζ使得函数等于A或等于B。这种将原本清晰的问题模糊化的做法，是不应该的。所以书本才是开区间。

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