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设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式1

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/17 19:45:14
设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式
1
PQ
设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,
则vS-PQR=
1
3S△PQR•h=
1
3(
1
2PQ•PRsinα)•PS•sinβ.
另一方面,记O到各面的距离为d,则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS

1
3S△PQR•d=
1
3S△PRS•d+
1
3S△PRS•d+
1
3S△PQS•d
=
d

1
2PQ•PRsinα+
d

1
2PS•PRsinα+
d

1
2PQ•PS•sinα,
故有:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),

1
PQ+
1
PR+
1
PS=
sinβ
d=常数.
故选:D.