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双曲线渐近线为x+2y=0和x-2y=0,且双曲线上动点P到定点A(5,0)的最短距离为3,求双曲线方程.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 16:48:46
双曲线渐近线为x+2y=0和x-2y=0,且双曲线上动点P到定点A(5,0)的最短距离为3,求双曲线方程.
PS:在焦点在x轴上时,需说明为什么顶点是到A距离最短的点
设P(m,n)
双曲线方程为x²/4-y²=k
∴m²/4-n²=k
PA²=(m-5)²-n²=5/4(m-4)²+5-k
∵PA最短为3
①当P在y轴上,则k<0,则m=4时PA²最小为9
∴5-k=9
∴k=-4
∴抛物线方程为y²/4-x²/16=1
②当P在x轴上,则k>0,
当双曲线与x轴的交点横坐标小于4时,PA²最小值为5-k<5
∴双曲线与x轴交点横坐标一定大于4,
当双曲线与x轴交点横坐标大于4小于5,则PA²最小值小于1.
∴双曲线与x交点横坐标大于5,∴PA²最小值为P在顶点时取得.
∴a-5=3,∴a=8
∴k=16
∴抛物线方程为x²/64-y²/16=1