作业帮几道关于整数的初一奥数题,要求有过程和解释
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 15:58:28
几道关于整数的初一奥数题,要求有过程和解释
1.是否存在四位数abcd（不是乘）,其平方的末四位也是abcd?若存在,全部求出来；若不存在,请说明理由.
2.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如13=7平方-6平方,13就是一个“智慧数”,在正整数数列从1开始数起,第1990个智慧数是几?并说明理由.
3.求证：n的五次方-n（n为整数）能被30整除
4.公共汽车票的号码由六个数字组成,若一张票的号码前三个数字之和等于后三个数字之和等于后三个数字之和,则称它是幸运的,求证：所有幸运车票号码的和能被13整除.
回答对必定有追加分!
1.是否存在四位数abcd（不是乘）,其平方的末四位也是abcd?若存在,全部求出来；若不存在,请说明理由.
2.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如13=7平方-6平方,13就是一个“智慧数”,在正整数数列从1开始数起,第1990个智慧数是几?并说明理由.
3.求证：n的五次方-n（n为整数）能被30整除
4.公共汽车票的号码由六个数字组成,若一张票的号码前三个数字之和等于后三个数字之和等于后三个数字之和,则称它是幸运的,求证：所有幸运车票号码的和能被13整除.
回答对必定有追加分!
1
由abcd的平方的末四位也是abcd,有 d*d-d一定为10的倍数,又d是数字,所以d＝5或6,进位dd为2或3
同样利用(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)为10000的倍数,又
(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)＝(a*1000+b*100+c*10+d-1)×(a*1000+b*100+c*10+d)
可得10的倍数为 c*(d-1)+c*d+dd
若d=5 10的倍数为 9c+2 是10的倍数 c＝2 cc=2
若d=6 10的倍数为 11c+3 是10的倍数 c＝7 cc=8
可得100的倍数为 b*(d-1)+b*d+c*c+cc
若d=5 100的倍数为 9b+6 是100的倍数 b＝6 bb=6
若d=6 100的倍数为 11c+57 是100的倍数 b＝3 bb=9
可得1000的倍数为 a*(d-1)+a*d+2*b*c+bb
若d=5 100的倍数为 9a+30 是1000的倍数 a＝0 aa=3 舍去
若d=6 100的倍数为 11a+51 是1000的倍数 a＝9 aa=15
于是有9376符合要求.
2
A2—B 2=（A+B）（A-B）,因为（A+B）和（A-B）同奇或同偶,所以智慧熟是奇数或是4的倍数,所以任何大于1的奇数都是智慧数,任何大于4的4的倍数都是智慧数,算一下就知道第1990个是2656
3
因为将n^5-n分解因式为：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数,其中必定有2的倍数和3的倍数,则必然是6的倍数.
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4,其中k是正整数（下同）,那么n-1或n或n+1中含因子5,则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
若n=5k+2,则:
n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1),是5的倍数,同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
若n=5k+3,则：
n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2),是5的倍数,同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
4
设幸运车票的号码是A,则A′＝999999－A也是幸运的,且A≠A′．因为A＋A′＝999999＝999×1001含因数13．而所有幸运号码都能如此两两配对．所以所有幸运号码之和能被13 整除．
别忘了加分哦~
由abcd的平方的末四位也是abcd,有 d*d-d一定为10的倍数,又d是数字,所以d＝5或6,进位dd为2或3
同样利用(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)为10000的倍数,又
(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)＝(a*1000+b*100+c*10+d-1)×(a*1000+b*100+c*10+d)
可得10的倍数为 c*(d-1)+c*d+dd
若d=5 10的倍数为 9c+2 是10的倍数 c＝2 cc=2
若d=6 10的倍数为 11c+3 是10的倍数 c＝7 cc=8
可得100的倍数为 b*(d-1)+b*d+c*c+cc
若d=5 100的倍数为 9b+6 是100的倍数 b＝6 bb=6
若d=6 100的倍数为 11c+57 是100的倍数 b＝3 bb=9
可得1000的倍数为 a*(d-1)+a*d+2*b*c+bb
若d=5 100的倍数为 9a+30 是1000的倍数 a＝0 aa=3 舍去
若d=6 100的倍数为 11a+51 是1000的倍数 a＝9 aa=15
于是有9376符合要求.
2
A2—B 2=（A+B）（A-B）,因为（A+B）和（A-B）同奇或同偶,所以智慧熟是奇数或是4的倍数,所以任何大于1的奇数都是智慧数,任何大于4的4的倍数都是智慧数,算一下就知道第1990个是2656
3
因为将n^5-n分解因式为：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数,其中必定有2的倍数和3的倍数,则必然是6的倍数.
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4,其中k是正整数（下同）,那么n-1或n或n+1中含因子5,则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
若n=5k+2,则:
n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1),是5的倍数,同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
若n=5k+3,则：
n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2),是5的倍数,同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
4
设幸运车票的号码是A,则A′＝999999－A也是幸运的,且A≠A′．因为A＋A′＝999999＝999×1001含因数13．而所有幸运号码都能如此两两配对．所以所有幸运号码之和能被13 整除．
别忘了加分哦~