设x轴,y轴正方向上的单位向量分别是i,j.坐标平面上点An,Bn(n为下标且n为正整数)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 02:07:35

设x轴,y轴正方向上的单位向量分别是i,j.坐标平面上点An,Bn(n为下标且n为正整数)
分别满足两条件⑴OA1向量(1为下标)=j向量,AnAn+1向量(n,n+1为下标)=i向量+j向量 ⑵OB1向量(1为下标)=3*i向量,BnBn+1向量=(2/3)^n*3*i向量
则(1)求OAn向量和OBn向量的坐标
(2)若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an(n为下标),求an(n为下标)的表达式
(3)对于(2)中的an(n为下标),是否存在最小的自然数M,对一切正整数都有an(n为下标)小于M成立?若存在,求M,若不存在,说明理由
(1)我已做出,请做(2)(3)两问

(1) OAn向量= (n-1) i向量 + (n) j向量
OBn向量= 9-9*(2/3)^n i向量
(2) 写出4个点的坐标
An ( n-1, n )
An+1 ( n, n+1 )
Bn ( 9-9*(2/3)^n, 0 )
Bn+1 ( 9-9*(2/3)^(n+1), 0 )
A1 ( 0, 1 )
O ( 0, 0 )
面积AnBnBn+1An+1
= 面积OA1An+1Bn+1 - 面积OA1AnBn
= （三角形面积OA1An+1 + 三角形面积OAn+1Bn+1）
- （三角形面积OA1An + 三角形面积OAnBn ）
=( n/2 + (n+1)(9-9*(2/3)^(n+1))/2 )
- ( (n-1)/2 + (n)(9-9*(2/3)^n)/2 )
= 1/2 + (9/2) + (3n/2-3)*(2/3)^n
= 5 + (n-2)*(2/3)^(n-1)
所以,an = 5 + (n-2)*(2/3)^(n-1)
(3) an = 5 + (n-2)*(2/3)^(n-1)
a1 = 4
a2 = 5
a3 = 5 + 4/9
a4 = 5 + 16/27
a5 = 5 + 16/27
a6 = 5 + 128/243
猜测：数组an的最大值为（5+16/27）
即M＝5＋16／27＝151／27
证明可用数学归纳法来求得,
证明铺垫,a1,a2,a3,a4,a5满足猜想
证明假设,ak