用数学归纳法证明1+n/2≤1+1/2+1/3+...+1/(2^n)≤1/2+n

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 23:46:33

用数学归纳法证明1+n/2≤1+1/2+1/3+...+1/(2^n)≤1/2+n
当n=k+1时,
1+1/2+1/3+...+1/2^k+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
>=1+k/2+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)=1+(k+1)/2
1+1/2+1/3+...+1/2^k+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)

=1+k/2+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1) 到这行你还是懂的,对吧?
但是你还得明白一共有多少个1/2^(k+1)
一共有2^(k+1)-2^k个的1/2^(k+1)
接下去这行的,你的解答里有个小错误
“> ” 应该改成 “ = ”
即
>1+k/2+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1)
=1+k/2+[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)

“这一次的变化是把2^(k+1)-2^k个的1/2^(k+1)和写成了” 这一句就是对你问题的直接解答!

[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)=1-1/2=1/2

还不清楚的话
hi我或者追问……
再问：那这样证明的话不是不会取到等号吗？？
再答：有的……我们上述复杂的解答过程其实考虑的是n≥2的情况当n=1的时候，就是取等号的时候了……
再问：我的意思是说当证明n=k+1的时候不是取不到等号吗？它题目中的取等只是n=1的情况？？
再答：呃你把我都问糊涂了解这个题目的过程是当n=1时 1+n/2=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)=1/2+n 当n≥2时，………… 永远不会取到“=”的当证明n=k+1（k≠0）的时候是取不到等号！因为取等号的时候，我们在一开始的时候已经证明了，无需再证！

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