已知a,b,c>0,求证：2(a³+b³+c³)+3abc≥3(a²b+b

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 09:25:09

已知a,b,c>0,求证：2(a³+b³+c³)+3abc≥3(a²b+b²c+c²a).
a=b=c等号成立.

a³+b³+c³+3abc≥a²b+b²c+c²a+b²a+c²b+a²c
a³+b³+c³≥2(a²b+b²c+c²a)-(b²a+c²b+a²c)
第1式是schur不等式,等价于：a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)≥0,由于全对称,所以可以不妨设a≥b≥c>0
然后设
b=c+x
a=c+x+y
x≥0
y≥0
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)
=(c+x+y)(x+y)y-(c+x)xy+cx(x+y)
=(c+x+y)(x+y)y-xxy+cxx
≥cxx
≥0
第2式整理之后是：(a³+b²a)+(b³+c²b)+(a²c+c³)≥2a²b+2b²c+2c²a
利用(a³+b²a)≥2a²b 显然.
1,2式子相加,得证.

已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3 已知a+b+c=0,abc不等于0,求证:(a^2+b^2+c^2)/(a^3+b^3+c^3)+2/3(1/a+1/b 已知a≥b≥c,a+b+c=1,abc>0,且a³-2a²+a-2≥0,求|a|+|b|+|c 已知abc不全等的正数求证b+c-a/a+c+a-b/b+a+b-c/c>3 已知abc属于r求证a\b+c+b\c+a+c\a+b＞=3/2 已知,abc>0,求证,b+c/a+c+a/b+a+b/c大于等于6 已知a,b,c＞0,abc=1,求证：a^3+b^3+c^3≥ab+bc+ca 已知a>b>c,且2a+3b+4c=0.(1)求证:a+b+c>0 已知a、b、c∈R,a+b+c=0,abc=1,求证：a、b、c中至少有一个大于3／2 已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2 已知a+b/a-b=b+c/2(b-c)=c+a/3(c-a),求证:8a+9b+5c=0 已知a,b,c∈R+,求证:ab+bc+ca=3abc.求证ab/a+b + bc/b+c + ca/c+a≥3/2 急