以线段AB为直径作圆,在另一侧作矩形ABCD,使AB=根号二AD,P为半圆上任意一点,PC,PD分别交AB于点E,F

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 19:24:09

求证：AE²+BF²=AB²

你好

claim：这个方法有点繁琐,仅供抛砖引玉之用~
【辅助线】过点P作PO垂直AB于O,连接AP、BP.
【设】AF=x,BE=x,PO=h,AD=1,AB=√2.从而AE=√2-y,BF=√2-x,由勾股定理得待证：(√2-y)²+(√2-x)²=2.
【证明】易证△ABF∽△OPF,因此有OF=hx,同理可得OE=hy.
由于AF+OF+OE+BE=AB=√2,因而代入得：x+y=(√2)/(h+1)………………①
由于P在圆周上,因此△APB为直角三角形.又△AOP和△BOP也为直角三角形,由勾股定理得：AP²=OA²+OP²=(hx+x)²+h²,BP²=OB²+OP²=(hy+y)²+h².
对Rt△APB得：2=AB²=AP²+BP²=……=(h+1)²(x²+y²)+2h²
从中解得x²+y²=2(1-h²)/(1+h)²=2(1-h)/(h+1)…………………………………②
因此由①、②得：(√2-y)²+(√2-x)² = 4-2√2(x+y)+x²+y² = 4-4/(h+1)+2(1-h)/(1+h)=4-2=2.证毕

祝学习愉快~

在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E是CD上一动点,以AE为直径的圆O与AB交于点F,过点F作FG垂直BE于点G. 已知：如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点（异于A、B）,过点P作作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3.点P是边AD上一点,联结CP,过点P作PF⊥CP交AB于F,以点C为圆心,C 在半圆中,已知C是半圆上的一点,弧AC=弧CE,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC,CB于点D,F 已知矩形ABCD中AB=√2AD以AB为直径作半圆P是半圆上的一动点连接PA、PB并延长与直线CD交于 1.在平行四边形ABCD中,P为AC上一点,过点P作EF‖AB交AD于E,交BC于F,过点P作HG‖AD交AB于H,DC 梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,P为梯形ABCD外一点,PA,PD分别交线段BC于E,F,且PA=PD 在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,P为梯形ABCD外一点,PA,PD分别交线段BC于点E、F,且PA=PD.求如图,C为圆O上一点,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC、CB于点D、F,AD=CD=5,圆O的半径已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1 如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线BD上任意一点,过点P作EF‖AD,分别交AB、CD于E、F,作GH∥AB,分已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．