y=1/(1+x^4)的不定积分是什么?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 00:49:10

y=1/(1+x^4)的不定积分是什么?
貌似积不大出来.
一楼的同志，补成x^2但是d后面不是x^2怎么能直接积呢？
二楼的同志貌似把ln打成log了，真是可惜。
三楼的同志，分部积分第二步那里d(1/(1+x^4))好像还要变成[-1/(1+x^4)^2*4x^3]dx吧？
四楼的同志，大大的佩服。

1+x^4 = (1+x²)² - 2x² = (1+x²+√2x)(1+x²-√2x)
1/(1+x^4)
= [1/(1+x²-√2x) - 1/(1+x²+√2x)]/2√2x
= 1/2√2 *[1/x + (√2-x)/(1+x²-√2x) - 1/x + (√2+x)/(1+x²+√2x)]
= 1/4√2 * [(2x+2√2)/(x²+√2x+1) - (2x-2√2)/(x²+1-√2x)]
= 1/4√2 *[(2x+√2)/(x²+√2x+1) - (2x-√2)/(x²+1-√2x) + √2/(x²+√2x+1) + √2/(x²+1-√2x)]
对(2x+√2)/(x²+√2x+1)求积分得ln(x²+√2x+1)
对(2x-√2)/(x²+1-√2x)求积分得ln(x²+1-√2x)
对√2/(x²+√2x+1)求积分得2arctan(√2x+1)
对√2/(x²-√2x+1)求积分得2arctan(√2x-1)
原式 = 1/4√2 *{ln[(x²+√2x+1))/(x²+1-√2x)] + 2arctan(√2x+1) + 2arctan(√2x-1)} + C

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