怎么证明向量v1=(1,2,3); v2=(1,0,-1); v3=(2,2,1) 组成R3的一个基底?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 00:07:48

怎么证明向量v1=(1,2,3); v2=(1,0,-1); v3=(2,2,1) 组成R3的一个基底?
我知道证这个要满足两点一是要组成一个span 第二是必须线性无关我可以证明这三个向量是线性无关的,但是关于第一点那个span不是很清楚
第二点是线性独立

k1v1+k2v2+k3v3=0
=>
k1+k2+2k3=0 (1) and
2k1+2k3=0 (2) and
3k1-k2+k3=0 (3)
(1)+(3)
4k1+3k3=0 (4)
(4)-2(2)
k3=0
from (4),=>k1=0
from (1),=>k2=0
v1,v2,v3 is linearly independence
=>v1=(1,2,3); v2=(1,0,-1); v3=(2,2,1) 组成R3的一个基
再问：谢谢你的回答，但是向量空间的基底不是要满足两个条件么, 1是linearly independent, 2是首先这三个向量组成R3的span，我不太清楚第二个怎么证
再答： (x,y,z) 属于R3 (x,y,z)=k1v1+k2v2+k3v3 you can have k1,k2,k3 from the above equation. But , obviously, dimension of (R^3) =3 number{ v1,v2,v3 } =3 v1,v2,v3 属于R3 v1,v2,v3 is linearly independence => v1,v2,v3 spans R^3
再问：不好意思啊我基础不是太好你说的xyz是假设的三个向量么？rank我没有学过不用rank证明的话是不是只要三个向量是linearly independent 就可以说they span R^3? 如果他们不是linearly independent的话我要怎么证明v1 v2 v3 span R^3? 谢谢
再答： (x,y,z) 属于R3 (x,y,z)=k1v1+k2v2+k3v3 => x=k1+k2+2k3=0 (1) and y=2k1+2k3=0 (2) and z=3k1-k2+k3=0 (3) Y=AX if Y= 0 X=(k1,k2,k3)=(0,0,0) if Y不等于0 det|A| 不等于0 there exists unique solution of (k1,k2,k3) you can have k1,k2,k3 in terms of x,y,z from the above equations. ie v1,v2,v3 spans R^3
再问：谢谢你的回答但是真的我还是没有完全懂 i think if u expained it in chinese, that would be much better

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