（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/11 12:39:30

（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，求g_n（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N₊，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明．

由题设得，g(x)＝
x
1+x(x≥0)
（Ⅰ）由已知g1(x)＝
x
1+x，
g2(x)＝g(g1(x))＝

x
1+x
1+
x
1+x＝
x
1+2x，
g3(x)＝
x
1+3x…
可得gn(x)＝
x
1+nx
下面用数学归纳法证明．①当n=1时，g1(x)＝
x
1+x，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即gk(x)＝
x
1+kx，
那么n=k+1时，gk+1(x)＝g(gk(x))＝
gk(x)
1+ gk(x)=

x
1+kx
1+
x
1+kx＝
x
1+(k+1)x即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N₊成立．
（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥
ax
1+x恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）-
ax
1+x（x≥0），则φ′（x）=
1
1+x−
a
(1+x)2＝
x+1−a
(1+x)2，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥
ax
1+x恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a-1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a-1]上单调递减，
∴φ（a-1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥
ax
1+x不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（-∞，1]．
（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=
1
2+
2
3+…+
n
n+1

(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其（2014•南昌二模）已知函数y=f（x）对任意的x∈R满足2xf′（x）-2xf（x）ln2＞0（其中f′（x）是函数设函数f（x）的导数为f‘（x）,且f(x)=x²+2xf‘（1）,则f‘（0）等于设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x＝-2处取得极小值,则函数y=xf′（x）的图像可能是设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线设函数f(x)的导函数为f'（x）,且满足f（x）=3x*2+2xf'（2）,则f'（5）设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1），设函数f(x）,g(x)为定义域相同的奇函数,试问（1）函数F(x)=f(x)+g(x)是奇函数还是偶函数?为什么?（设f（x）=xf（3/x）+1,(x不等于0,x属于R）,求函数f（x）的解析式? 已知函数f（x）=ln（x+x 设函数f(X)定义在（0,+∞）上,f(1)=0,导数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x) . 设函数f（x）=x