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（2014•阳泉二模）已知函数f（x）=21nx+ax2-1 （a∈R）

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 04:35:50
（2014•阳泉二模）已知函数f（x）=21nx+ax2-1 （a∈R）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，试解答下列两小题．
（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；
（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=
2
x+2ax
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax2+2＞0
①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）递增区间是（0，+∞）；
②当a＜0时，由2ax2+2＞0可得−
−
1
a＜x＜
−
1
a
x＞0，∴f（x）递增区间是（0，

−a
−a），递减区间为(

−a
−a，+∞)；
（Ⅱ）（i）设F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x2，则F′（x）=
4x3
x2−1
∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上为减函数
∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴实数m的取值范围为[0，+∞）；
（ii）证明：∵f（x1）+f（x2）=0，
∴21nx1+x12-1+21nx2+x22-1=0
∴2lnx1x2+（x1+x2）2-2x1x2-2=0
∴（x1+x2）2=2x1x2-2lnx1x2+2
设t=x1x2，则t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，∴g′（t）=
2(t−1)
t
令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴g（t）min=g（1）=4，∴（x1+x2）2＞4，∴x1+x2＞2．
（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R． （2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0． （2014•东莞二模）已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）． 已知函数f（x）=ax2+2x+1（a∈R）． 已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R）． 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R 已知函数f（x）=ax2+x-a，a∈R 已知函数f（x）=2ax2+4x-3-a，a∈R． 已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R． 已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R． （2010•济南二模）已知函数f（x）=2x−ax2+2（x∈R）． 已知函数f（x）=12ax2+（1-a）x-1-lnx，a∈R．