作业帮关于一道椭圆的题目,急啊.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 18:26:24
关于一道椭圆的题目,急啊.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的离心率为 『根号2』/2,且曲线过（1,『根号2』/2）
(1)求椭圆C的方程.
（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同两点,A、B且线段AB的重点不在圆x^2+y^2=5/9内,求m的取值范围
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的离心率为 『根号2』/2,且曲线过（1,『根号2』/2）
(1)求椭圆C的方程.
（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同两点,A、B且线段AB的重点不在圆x^2+y^2=5/9内,求m的取值范围
1.离心率e=c/a=『根号2』/2,所以c^2/a^2=1/2,设c^2=t,则a^2=2t,b^2=t
椭圆变为x^2/(2t)+y^2/t=1,因为过（1,『根号2』/2）
代入得t=1,所以椭圆为x^2/2+y^2=1
2.联立y=x+m和椭圆得到3x^2+4mx+(2m^2-2)=0
所以由韦达定理设A(x1,y1),B（x2,y2)
有x1+x2=-4m/3,y1+y2=x1+x2+2m=2m/3
即AB中点(-2m/3,m/3)
由于AB的中点不在圆x^2+y^2=5/9内
有(-2m/3)^2+(m/3)^2>=5/9,解得m^2>=1
最后直线和椭圆有交点,需要满足判别式>0
故解得m^2
椭圆变为x^2/(2t)+y^2/t=1,因为过（1,『根号2』/2）
代入得t=1,所以椭圆为x^2/2+y^2=1
2.联立y=x+m和椭圆得到3x^2+4mx+(2m^2-2)=0
所以由韦达定理设A(x1,y1),B（x2,y2)
有x1+x2=-4m/3,y1+y2=x1+x2+2m=2m/3
即AB中点(-2m/3,m/3)
由于AB的中点不在圆x^2+y^2=5/9内
有(-2m/3)^2+(m/3)^2>=5/9,解得m^2>=1
最后直线和椭圆有交点,需要满足判别式>0
故解得m^2