作业帮怎么求棱柱体积
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 22:46:06
怎么求棱柱体积
求斜棱柱的体积：
在求斜棱柱的体积时,最常用的方法是用棱柱的底面积乘以棱柱的高来求得,而在引入了直截面的概念之后,利用直截面面积与侧棱长之积来求斜棱柱的体积,在某些时候显得更为简便.
例：如上例中,若改求该斜三棱柱的体积,就可先求得直截面△BMC的面积,然后利用直截面面积与侧棱长的乘积来求得体积.
特别地,对于斜三棱柱来说,我们还可以利用该斜三棱柱的一个侧面的面积S与它所对应的侧棱到它的距离d的乘积的一半来求其体积,即用公式： V三棱柱= 1/2 Sd表示,公式证明如下：
作出斜三棱柱ABC- ABC的直截面△EBC,沿直截面切下,如图安置,则斜三棱柱ABC-ABC与直三棱柱EBC-EBC的体积相等,设△EBC中BC=a,BC边上的高为d,侧棱长为l,则
∵VABC-ABC=VEBC-EBC=1/2d·a·l
S矩形BCCB=a·l
∴VABC-ABC=1/2sd
例：斜三棱柱的一个侧面的面积等于10c㎡,该侧面与其所对的侧棱间的距离为6㎝,则该三棱柱的体积为30 c㎡（V= 1/2 ×10×6=30 c㎡）
【注】该公式的另一种证法是在原斜三棱柱的基础上接上一个和它完全一样的斜三棱柱,从而组成一平行六面体,利用转换底面的方法求得该平行六面体的体积,于是原斜三棱柱的体积是它的体积的一半.
2、三棱锥体积的几种方法：
（1）割补法：
例1：如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA.BC的公垂线DE=h,求三棱锥P-ABC的体积.
【分析】直接求三棱锥P-ABC的体积比较困难,考虑到DE是对棱PA和BC的公垂线,可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC和A-EBC,利用PA⊥截面EBC,且△EBC的面积易求,从而体积可求.
【详解】连结BE、CE
∵DE为PA、BC的公垂线
∴PA⊥DE 又PA⊥BC,DE∩BC=D
从而PA⊥平面EBC
VP-ABC=VP-EBC+VA-EBC
=1/3S△EBC·PE+1/3S△EBC· AE
=1/3S△EBC（PE+AE）
=1/3PA·S△EBC =1/6 lh
【评注】本例的解法称为分割法,把原三棱锥分割为两个三棱锥,它们有公共的底面△EBC,而高的和恰为PA,因而计算机简便,当然也可连PD、AD,用△PDA作为公共的底,把BC作为高.
例2：从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A-BCD,求它的 体积与原正方体体积之比
【分析】可直接求剩余部分的面积,利用底面积与高的乘积的1/3,但比较麻烦.可间接来求,利用原正方体体积扣除截去的四个全等的三棱锥的体积求得.
【略解】∵V截1=1/3·1/2·a·a=1/6a
V剩余=a-4·1/6·a=1/3a
∴VA-BCD：V正方体=1：3
（2）等积法
例：如图,已知AC和CD分别是两平行平面α和β内的异面线段,AB=a,CD=b,它们所成的角为θ,平面α、β间的距离为h.
求证:不论AB、CD 在α、β内作怎样的平行移动,三棱锥A-BCD的体积不变,并用a、b、h和θ表示该体积.
【分析】由已知条件难以直接表示这个体积,注意到α∥β,可在β内作出与AB平行且相等的线段CE,构造一个新的四面体A-CDE,只要能证得VA-BCD =VA-CDE,则问题可解.
【详解】过AB、AC作平面γ交β于CE,在CE上取点E,使CE=AB
∵α∥β,γ∩α=AB,γ∩β=CE
∴AB∥CE,又AB=CE
故四边形ACEB为平行四边形
∴VA-BCD=VB-ACD=VE-ACD=VA-CDE
△ECD中,AB∥CE,从而∠ECD=θ
AB=CE= a,CD=b,
故S△ECD =1/2absinθ
又A到β的距离为h
∴VA-BCD=VA-CDE=1/6abhsinθ
【评注】在三棱锥的等体积变换过程中,常用的一种方法是变换顶点和底面的位置,以达到解题目的.另外须注意的是正确的作图是“过AB、AC作平面γ交β于CE,”,而不是“过C作CE平行且等于 AB”,因后者尚须证明“CE在β内”.
3、棱柱中棱锥体积的求法：
*棱柱中棱锥体积的求解,往往采用割补法或等积法,有时甚至两者结合运用.
例1：如图,已知正方体AC的棱长为a,E、F分别为棱AA与CC的中点,求四棱锥A-EBFD的体积.
【分析】先考虑能否直接求出棱锥的高和底面积,由于AC∥EF,即AC∥平面EBFD,所以要求此棱锥的高,即求异面直线AC与BD的距离,有一定难度,故再考虑改为用立体图形的分解、组合和等积转换等方法.
【详解】四棱锥A-EBFD的底面是菱形,连结EF,则△EFB≌△EFD
∵三棱锥A-EFB与三棱锥A-EFD等底同高
∴VA-EFB=VA-EFD
VA-EBFD=2VA-EFB=2VF-EBA
=2·1/3S△EBA·a=1/6a
【评注】此解法把棱柱分割成两个等积的三棱锥,从而转化为求三棱锥的体积,进而又利用三棱锥可换底求解（等积）的灵活性,作进一步转化.
例2：如图,已知直三棱柱ABC-ABC的侧棱和底面边长都为a,截面ABC和截面ABC相交于DE,求三棱锥B-BDE的体积.
【详解】（!）可采用分割法
取BB中点M,连结DM、EM
由于为直棱柱故有BB⊥平面DME
VB-BDE=VB-DME+VB-DME
=1/3S△DME·BM
+1/3 S△DME·BM
=1/3 S△DME（BM+BM）
=1/3 S△DME·BB
=1/3（1/2·a/2·3/4a）a
=3/48a
（2）可采用等积法
取BC中点F,连结BF、AF,则AF⊥平面BBC,取BF中点O,连结DO,则DO∥AF,故DO⊥平面BBC,
且DO=1/2·3/2a=3/4a
VB-BDE=VD-BBE
=1/3·1/4a·3/4a=3/48a
【评注】另外,本题还可利用三棱锥B-BDE与三棱锥B-ABC之体积之比为△BDE与△BAC之面积比,而三棱锥B-ABC的体积利用等积法与三棱锥B-ABC体积相等来求得
4、有内切球与外接球的三棱柱问题：
例1 ：如图,三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球体积.
【分析】正如三角形的内切圆半径常常与面积发生联系一样,三棱锥的内切球半径常常和体积发生联系,本题中,可以球心为顶点,四个全等的侧面为底面,把原棱锥分割成四个小棱锥,由等体积关系可求出内切球半径,进而求出体积.
【详解】取CD中点E,连结AE、BE
∵AC=AD,∴CD⊥AE
∵BC=BD,∴CD⊥BE 又AE∩BE=E
故CD⊥平面ABE
VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE
=1/3S△ABE·CE+1/3S△ABE·DE
=1/3 S△ABE·（CE+DE）
=1/3 S△ABE·CD=6 7
由于各侧面全等,面积均为12,设内切球半径为r,则
VA-BCD=1/3（S△ABC+ S△BCD+ S△CDA
+S△DAB）·r
=1/3·48 r =16 r =6 7
故r =3 7/8
因此V球=4/3 πr =(63 7/128)π
【评注】多面体如果有一个内切球,球半径为R,多面体n个面的面积分别为S,S,…S,把球心与多面体的顶点连结起来,就把多面体分割成n个以表面为底面,R为高的小棱锥,设多面体体积为V,则有V=1/3R（S+S+…+S）,据此可求得球的半径,进而求得球的体积.
例2：如图,正三棱锥P-ABC的高为1,底面边长为2 6,内有一个球与四个面均相切,求棱锥的全面积和球的面积.
【详解】过侧棱PA与球心O作截面PAE交侧面PBC于PE,由于△ABC为正三角形,故AE既是△ABC底边上的高,又是BC边上的中线,作正三棱锥的高PD,则PD过球心O,且D为△ABC的中心.
（1）∵正三角形ABC边长为2 6
∴DE=1/3·AE=1/3·3/2·2 6
=2
故PE=3
∴S全=S侧+S底
=3·1/2·2 6·3+3/4·(2 6)
=9 2+6 3
（2）以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱锥,设球半径为r,则
V+V+V+V=1/3r·S全=1/3h·S△ABC
故r= (S△ABC·h)/ S全= 6-2
∴S球=4πr=4π(6-2)
例3：如图,求半径为R的球O的内接正三棱锥P-ABC的体积的最大值.
【详解】设OO=h,底面边长为a
AO=(R-h)=a/ 3,则a=3(R-h)
PO=R+h
故V=1/3 S△ABC·PO
=1/3·3/4·3(R-h)(R+h)
≤〔3/(4·2)〕(R+h)(R+h)(2R-2h)
≤3/8(4R/3)=8 3/27R
(当且仅当R+h=2(R-h)即h=R/3时等号成立)
∴Vmax=(8 3/27)R
例4：如图,过半径为R的球面上的一点M作三条两垂直的弦MA、MB、MC
(1)求证：MA +MB+ MC为定值
(2)求三棱锥M-ABC体积的最大值
【分析】由MA⊥MB可知,过M、A、B三点的平面截球面得一小圆O,而AB是圆O的直径,设球心为O,连结OO,则OO⊥小圆面AMB,所以OO∥MC.由OO和MC确定的平面截球面就得到球的大圆O,M、D为两圆交点,MD为小圆直径,CD为大圆直径,故MA +MB+ MC=AB+MC=MD+MC=4R
【详解】（1）设MA、MB确定的平面截球面得到小圆O
∵MA⊥MB ∴AB为⊙O直径
连结MO并延长交⊙O于D,MD为小圆直径,连结CD
∵MC⊥MA,MC⊥MB,MA∩MB=M
∴MC⊥小圆面AMB,而MC在平面MCD内
∴平面MCD⊥平面MAB
连结OO,则OO⊥小圆面MAB,故过M、C、D的圆是球的大圆
又MC⊥MD,于是CD过球心O,即CD为球O的直径
∴CD= MD+MC=MA +MB+ MC=4R
（2）V=（1/6MA·MB·MC）
=1/36·MA·MB·MC
≤ 1/36〔（MA+MB+MC）/3〕
=1/36（4R/3）
∴Vmax=4/27·3R
【评注】事实上,三棱锥M-ABC是球的内接长方体的一个“角”,故本题也可以用“构造法”,通过构造以MA、MB、MC为三条棱的长方体来求解,这个长方体的对角线就是球的直径,长方体的体积最大时,就成为球的内接正方体.
以上就是学习棱柱、棱锥的一些技巧及其归类运用.相信学生在已有的空间直线和平面知识的基础上,对这部分内容若加以了比较学习,并能注意对其应用加以归类总结,一定能起到事半功倍的效果.
在求斜棱柱的体积时,最常用的方法是用棱柱的底面积乘以棱柱的高来求得,而在引入了直截面的概念之后,利用直截面面积与侧棱长之积来求斜棱柱的体积,在某些时候显得更为简便.
例：如上例中,若改求该斜三棱柱的体积,就可先求得直截面△BMC的面积,然后利用直截面面积与侧棱长的乘积来求得体积.
特别地,对于斜三棱柱来说,我们还可以利用该斜三棱柱的一个侧面的面积S与它所对应的侧棱到它的距离d的乘积的一半来求其体积,即用公式： V三棱柱= 1/2 Sd表示,公式证明如下：
作出斜三棱柱ABC- ABC的直截面△EBC,沿直截面切下,如图安置,则斜三棱柱ABC-ABC与直三棱柱EBC-EBC的体积相等,设△EBC中BC=a,BC边上的高为d,侧棱长为l,则
∵VABC-ABC=VEBC-EBC=1/2d·a·l
S矩形BCCB=a·l
∴VABC-ABC=1/2sd
例：斜三棱柱的一个侧面的面积等于10c㎡,该侧面与其所对的侧棱间的距离为6㎝,则该三棱柱的体积为30 c㎡（V= 1/2 ×10×6=30 c㎡）
【注】该公式的另一种证法是在原斜三棱柱的基础上接上一个和它完全一样的斜三棱柱,从而组成一平行六面体,利用转换底面的方法求得该平行六面体的体积,于是原斜三棱柱的体积是它的体积的一半.
2、三棱锥体积的几种方法：
（1）割补法：
例1：如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA.BC的公垂线DE=h,求三棱锥P-ABC的体积.
【分析】直接求三棱锥P-ABC的体积比较困难,考虑到DE是对棱PA和BC的公垂线,可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC和A-EBC,利用PA⊥截面EBC,且△EBC的面积易求,从而体积可求.
【详解】连结BE、CE
∵DE为PA、BC的公垂线
∴PA⊥DE 又PA⊥BC,DE∩BC=D
从而PA⊥平面EBC
VP-ABC=VP-EBC+VA-EBC
=1/3S△EBC·PE+1/3S△EBC· AE
=1/3S△EBC（PE+AE）
=1/3PA·S△EBC =1/6 lh
【评注】本例的解法称为分割法,把原三棱锥分割为两个三棱锥,它们有公共的底面△EBC,而高的和恰为PA,因而计算机简便,当然也可连PD、AD,用△PDA作为公共的底,把BC作为高.
例2：从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A-BCD,求它的 体积与原正方体体积之比
【分析】可直接求剩余部分的面积,利用底面积与高的乘积的1/3,但比较麻烦.可间接来求,利用原正方体体积扣除截去的四个全等的三棱锥的体积求得.
【略解】∵V截1=1/3·1/2·a·a=1/6a
V剩余=a-4·1/6·a=1/3a
∴VA-BCD：V正方体=1：3
（2）等积法
例：如图,已知AC和CD分别是两平行平面α和β内的异面线段,AB=a,CD=b,它们所成的角为θ,平面α、β间的距离为h.
求证:不论AB、CD 在α、β内作怎样的平行移动,三棱锥A-BCD的体积不变,并用a、b、h和θ表示该体积.
【分析】由已知条件难以直接表示这个体积,注意到α∥β,可在β内作出与AB平行且相等的线段CE,构造一个新的四面体A-CDE,只要能证得VA-BCD =VA-CDE,则问题可解.
【详解】过AB、AC作平面γ交β于CE,在CE上取点E,使CE=AB
∵α∥β,γ∩α=AB,γ∩β=CE
∴AB∥CE,又AB=CE
故四边形ACEB为平行四边形
∴VA-BCD=VB-ACD=VE-ACD=VA-CDE
△ECD中,AB∥CE,从而∠ECD=θ
AB=CE= a,CD=b,
故S△ECD =1/2absinθ
又A到β的距离为h
∴VA-BCD=VA-CDE=1/6abhsinθ
【评注】在三棱锥的等体积变换过程中,常用的一种方法是变换顶点和底面的位置,以达到解题目的.另外须注意的是正确的作图是“过AB、AC作平面γ交β于CE,”,而不是“过C作CE平行且等于 AB”,因后者尚须证明“CE在β内”.
3、棱柱中棱锥体积的求法：
*棱柱中棱锥体积的求解,往往采用割补法或等积法,有时甚至两者结合运用.
例1：如图,已知正方体AC的棱长为a,E、F分别为棱AA与CC的中点,求四棱锥A-EBFD的体积.
【分析】先考虑能否直接求出棱锥的高和底面积,由于AC∥EF,即AC∥平面EBFD,所以要求此棱锥的高,即求异面直线AC与BD的距离,有一定难度,故再考虑改为用立体图形的分解、组合和等积转换等方法.
【详解】四棱锥A-EBFD的底面是菱形,连结EF,则△EFB≌△EFD
∵三棱锥A-EFB与三棱锥A-EFD等底同高
∴VA-EFB=VA-EFD
VA-EBFD=2VA-EFB=2VF-EBA
=2·1/3S△EBA·a=1/6a
【评注】此解法把棱柱分割成两个等积的三棱锥,从而转化为求三棱锥的体积,进而又利用三棱锥可换底求解（等积）的灵活性,作进一步转化.
例2：如图,已知直三棱柱ABC-ABC的侧棱和底面边长都为a,截面ABC和截面ABC相交于DE,求三棱锥B-BDE的体积.
【详解】（!）可采用分割法
取BB中点M,连结DM、EM
由于为直棱柱故有BB⊥平面DME
VB-BDE=VB-DME+VB-DME
=1/3S△DME·BM
+1/3 S△DME·BM
=1/3 S△DME（BM+BM）
=1/3 S△DME·BB
=1/3（1/2·a/2·3/4a）a
=3/48a
（2）可采用等积法
取BC中点F,连结BF、AF,则AF⊥平面BBC,取BF中点O,连结DO,则DO∥AF,故DO⊥平面BBC,
且DO=1/2·3/2a=3/4a
VB-BDE=VD-BBE
=1/3·1/4a·3/4a=3/48a
【评注】另外,本题还可利用三棱锥B-BDE与三棱锥B-ABC之体积之比为△BDE与△BAC之面积比,而三棱锥B-ABC的体积利用等积法与三棱锥B-ABC体积相等来求得
4、有内切球与外接球的三棱柱问题：
例1 ：如图,三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球体积.
【分析】正如三角形的内切圆半径常常与面积发生联系一样,三棱锥的内切球半径常常和体积发生联系,本题中,可以球心为顶点,四个全等的侧面为底面,把原棱锥分割成四个小棱锥,由等体积关系可求出内切球半径,进而求出体积.
【详解】取CD中点E,连结AE、BE
∵AC=AD,∴CD⊥AE
∵BC=BD,∴CD⊥BE 又AE∩BE=E
故CD⊥平面ABE
VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE
=1/3S△ABE·CE+1/3S△ABE·DE
=1/3 S△ABE·（CE+DE）
=1/3 S△ABE·CD=6 7
由于各侧面全等,面积均为12,设内切球半径为r,则
VA-BCD=1/3（S△ABC+ S△BCD+ S△CDA
+S△DAB）·r
=1/3·48 r =16 r =6 7
故r =3 7/8
因此V球=4/3 πr =(63 7/128)π
【评注】多面体如果有一个内切球,球半径为R,多面体n个面的面积分别为S,S,…S,把球心与多面体的顶点连结起来,就把多面体分割成n个以表面为底面,R为高的小棱锥,设多面体体积为V,则有V=1/3R（S+S+…+S）,据此可求得球的半径,进而求得球的体积.
例2：如图,正三棱锥P-ABC的高为1,底面边长为2 6,内有一个球与四个面均相切,求棱锥的全面积和球的面积.
【详解】过侧棱PA与球心O作截面PAE交侧面PBC于PE,由于△ABC为正三角形,故AE既是△ABC底边上的高,又是BC边上的中线,作正三棱锥的高PD,则PD过球心O,且D为△ABC的中心.
（1）∵正三角形ABC边长为2 6
∴DE=1/3·AE=1/3·3/2·2 6
=2
故PE=3
∴S全=S侧+S底
=3·1/2·2 6·3+3/4·(2 6)
=9 2+6 3
（2）以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱锥,设球半径为r,则
V+V+V+V=1/3r·S全=1/3h·S△ABC
故r= (S△ABC·h)/ S全= 6-2
∴S球=4πr=4π(6-2)
例3：如图,求半径为R的球O的内接正三棱锥P-ABC的体积的最大值.
【详解】设OO=h,底面边长为a
AO=(R-h)=a/ 3,则a=3(R-h)
PO=R+h
故V=1/3 S△ABC·PO
=1/3·3/4·3(R-h)(R+h)
≤〔3/(4·2)〕(R+h)(R+h)(2R-2h)
≤3/8(4R/3)=8 3/27R
(当且仅当R+h=2(R-h)即h=R/3时等号成立)
∴Vmax=(8 3/27)R
例4：如图,过半径为R的球面上的一点M作三条两垂直的弦MA、MB、MC
(1)求证：MA +MB+ MC为定值
(2)求三棱锥M-ABC体积的最大值
【分析】由MA⊥MB可知,过M、A、B三点的平面截球面得一小圆O,而AB是圆O的直径,设球心为O,连结OO,则OO⊥小圆面AMB,所以OO∥MC.由OO和MC确定的平面截球面就得到球的大圆O,M、D为两圆交点,MD为小圆直径,CD为大圆直径,故MA +MB+ MC=AB+MC=MD+MC=4R
【详解】（1）设MA、MB确定的平面截球面得到小圆O
∵MA⊥MB ∴AB为⊙O直径
连结MO并延长交⊙O于D,MD为小圆直径,连结CD
∵MC⊥MA,MC⊥MB,MA∩MB=M
∴MC⊥小圆面AMB,而MC在平面MCD内
∴平面MCD⊥平面MAB
连结OO,则OO⊥小圆面MAB,故过M、C、D的圆是球的大圆
又MC⊥MD,于是CD过球心O,即CD为球O的直径
∴CD= MD+MC=MA +MB+ MC=4R
（2）V=（1/6MA·MB·MC）
=1/36·MA·MB·MC
≤ 1/36〔（MA+MB+MC）/3〕
=1/36（4R/3）
∴Vmax=4/27·3R
【评注】事实上,三棱锥M-ABC是球的内接长方体的一个“角”,故本题也可以用“构造法”,通过构造以MA、MB、MC为三条棱的长方体来求解,这个长方体的对角线就是球的直径,长方体的体积最大时,就成为球的内接正方体.
以上就是学习棱柱、棱锥的一些技巧及其归类运用.相信学生在已有的空间直线和平面知识的基础上,对这部分内容若加以了比较学习,并能注意对其应用加以归类总结,一定能起到事半功倍的效果.