两个线性代数题目,1.对于实对称矩阵的秩是该实对称矩阵不为零的特征值个数总和,那么对于一般实数矩阵呢?如果不成立,那么矩

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 20:06:06

两个线性代数题目,
1.对于实对称矩阵的秩是该实对称矩阵不为零的特征值个数总和,那么对于一般实数矩阵呢?如果不成立,那么矩阵的秩是否大于等于该矩阵不为零的特征值个数总和?请证明.
2.矩阵A和矩阵B的特征值和秩相同,那么A和B相似吗?如果成了请证明,如果不成立请给出反例

1、结论对能相似对角化的矩阵成立.一般不成立.证明就是用Jordan标准型即可.
对任意的矩阵A,存在可逆阵P,使得P^(－1)AP＝J＝diag(J1,J2,...,Jk),
其中Jk＝[a 1 0. 0
0 a 1.0
.
0 0 0.a],
r(A)＝r(J)＝r(J1)+r(J2)+.+r(Jk).由此易知结论成立.
2、不一定.还是用上面的Jordan标准型.
A＝【1 1 0
0 1 1
0 0 1】
B＝【1 1 0
0 1 0
0 0 1】
r(A)＝r(B)＝3,A与B的特征值都是1,但A,B不相似.
相似矩阵有相同的Jordan 标准型.
建议你查看一下高代的Jordan标准型就容易明白这些内容了.
再问：谢谢你啊，表示学的是高等数学，线代是同济的，这两个题目是我自己写题目的时候想到的，我没详细看你的回答了，我只看结论就行了，不过还是确认下，对于第二个问号，也是不一定成立吗？第二问应该是成立的把，不管是什么矩阵
再答：不成立。只有秩和特征值相同不能保证两个矩阵是相似的。其实最重要的是特征向量，或者说有相同的特征子空间才行。
再问：不是指这个啊，我指的是第一问的第二个问号
再答：那正确。秩>=非零特征值个数。

对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵,其秩就是非零特征值的个数（其中n重根以n个记）,如果0不是该矩阵的特征值,此矩阵满秩帮我做一下矩阵的题吧设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维线性代数若n阶对称矩阵A是正定矩阵,那么A的秩一定为n吗?为什么呢? 实对称矩阵的特征值必为实数线性代数：在证明实对称矩阵的特征值一定为实数时,特征向量x是实数吗?详见补充证明实对称矩阵的特征值是实数特征值均为实数的正交矩阵为对称矩阵 n阶实对称矩阵特征值书上通过简单的证明说明了n阶实对称矩阵的特征值必然是实数,那么如果把特征多项式展开的话,是不是都是一实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩对吗? 证明如果一个实对称矩阵A的特征值皆大于0,那么它是正定的线性代数实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是它与单位矩阵合同· 如果一个经过正交变换的矩阵得到的二次型矩阵是实对称的,那么原矩阵是实对称矩阵吗?