已知数列{an}的首项a1=4，前n项和为Sn，且Sn+1-3Sn-2n-4=0（n∈N+）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 21:25:28

已知数列{a_n}的首项a₁=4，前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1），求数列{b_n}的通项公式，并研究其单调性．

（1）∵S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺） ①
∴S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0（n∈N⁺） ②
①-②得a_n+1-3a_n-2=0，
即a_n+1+1=3（a_n+1）
∴{a_n+1}是首项为5，公比为3的等比数列．
∴a_n+1=5•3^n-1，
即a_n═5•3^n-1-1．
（2）∵f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，
∴f′（x）=a_n+2a_n-1x+…+na₁x^n-1
∴b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁=（5×3^n-2-1）+…+n（5×3⁰-1）
=5[3^n-1+2×3^n-2+…+n×3⁰]-
n(n+1)
2，
令S=3^n-1+2×3^n-2+…+n×3⁰，则3S=3ⁿ+2×3^n-1+…+n×3¹．
作差得S=-
n
2-
3-3n+1
4．
于是，b_n=f′（1）=
5×3n+1-15
4-
n(n+6)
4，而bn+1=
5×3n+2-15
4-
(n+1)(n+7)
4，
作差得bn+1-bn=
15×3n
2-
n
2-
7
4＞0
∴{b_n}是递增数列．

已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）已知数列{an}的首项是a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+3n+1（n∈N*）．已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S（n+1）=3Sn+2n(n∈N) 已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5（n∈N*）,求数列｛an｝的前n项和Sn,设高中数列已知数列｛an｝的首项a1=1 前n项和为Sn 且S（n+1）=2Sn+3n+1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，Sn+1Sn=an-2（n≥2，n∈N）设数列an的前n项和为sn,且a1为1 ,Sn+1=4an+2（n∈N正）数列an的前n项和为Sn,a1=1/4且Sn=Sn-1+an-1+1/2（n-1为下标）已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为sn,且sn+1=3sn+2n 已知数列｛an｝的首项a1=5,前n项和为sn,且sn+1=2sn+n+5(n∈N*) （1）证明数列｛an+1｝是等比数列：已知数列{an}前 n项和为Sn,且a1=2,4Sn=ana(n+1).求数列{an}的通项公式.