作业帮高数三重积分的问题 曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 19:50:56
高数三重积分的问题
曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?
曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?
这个问题转化为求这个物体的体积.因为它是均匀的,算出体积乘以密度就可以得到它的质量.
下面求它的体积.这个物体比较奇怪,到现在我也想像不出它的形状.但是从表达式来看,x,y,z的地位是平等的.这个物体可分成四个相同的部分.我们只要求出它在x,y,z都大于0的部分的体积就可以了.下面我们就求这部分的体积,它其实等于积分：（下面用W表示积分号,看起来有点乱,但愿你能看明白）
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz,x,y,z都大于0区域积分）
作球坐标变换T：
x=rcosacosb
y=rsinacosb
z=rsinb
则可以算出
detDT=r^2cosb
其中a,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0.
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz,x,y,z都大于0区域积分）
=Wr^2cosbdrdadb(在r^3=cosasinacosbcosbsinb,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0上积分）
=W(Wr^2dr(r从0到（cosasinacosbcosbsinb)^(1/3))上积分）cosbdadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分）
=Wcosbcosasinacosbcosbsinb/3dadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分)
=1/24(这个积分过程很简单我就不详细写了）
所以这个物体体积为1/24*4=1/6
质量1/2.
下面求它的体积.这个物体比较奇怪,到现在我也想像不出它的形状.但是从表达式来看,x,y,z的地位是平等的.这个物体可分成四个相同的部分.我们只要求出它在x,y,z都大于0的部分的体积就可以了.下面我们就求这部分的体积,它其实等于积分：（下面用W表示积分号,看起来有点乱,但愿你能看明白）
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz,x,y,z都大于0区域积分）
作球坐标变换T：
x=rcosacosb
y=rsinacosb
z=rsinb
则可以算出
detDT=r^2cosb
其中a,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0.
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz,x,y,z都大于0区域积分）
=Wr^2cosbdrdadb(在r^3=cosasinacosbcosbsinb,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0上积分）
=W(Wr^2dr(r从0到（cosasinacosbcosbsinb)^(1/3))上积分）cosbdadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分）
=Wcosbcosasinacosbcosbsinb/3dadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分)
=1/24(这个积分过程很简单我就不详细写了）
所以这个物体体积为1/24*4=1/6
质量1/2.
利用三重积分计算曲面z=x^2+y^2,z=1,z=2所围成立体的质心,其中密度u=1
计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz 其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域中过程的疑问
计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz 其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.
计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2+z）dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.
利用三重积分计算由曲面z= √(x^2+y^2),z=x^2+y^2所围成的立体体积
用二重积分或三重积分计算曲面z=√x^2+y^2及z=x^2+y^2所围成的立体体积.
利用三重积分计算由下列各曲面所围立体的体积.球面x^2+y^2+z^2=2（z>=0),平面z=
三重积分计算由曲面Z=(X^2+Y^2)^0.5和曲面Z=(X^2+Y^2)所围成的立体体积的三次积分!写出积分表达式就
求由曲面z=x^2+y^2,z=4-y^2所围立体的体积,用三重积分
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