已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 05:58:27

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的�
已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

∵f（x）=e^x-ax²-bx-1，∴g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
又g′（x）=e^x-2a，x∈[0，1]，∴1≤e^x≤e，
∴①当a≤
1
2时，则2a≤1，g′（x）=e^x-2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）_min=g（0）=1-b；
②当
1
2＜a＜
e
2，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x-2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x-2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）_min=g[ln（2a）]=2a-2aln（2a）-b；
③当a≥
e
2时，则2a≥e，g′（x）=e^x-2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）_min=g（1）=e-2a-b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为gmin(x)＝

1?b  (a≤
1
2)
2a?2aln(2a)?b  (
1
2＜a＜
e
2)
e?2a?b  (a≥
e
2)；
（2）由f（1）=0，?e-a-b-1=0?b=e-a-1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤
1
2或a≥
e
2时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若
1
2＜a＜
e
2，则g_min（x）=2a-2aln（2a）-b=3a-2aln（2a）-e+1
令h（x）=
3
2x?xlnx?e+1 （1＜x＜e）
则h′(x)＝
3
2?(lnx+x?
1
x)=
1
2?lnx，∴h′(x)＝
1
2?lnx．由h′(x)＝
1
2?lnx＞0?x＜

（2014•四川）已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex,其中e是自然对数的底数,a∈R．（1）若a=1,求曲线f（x）在点（1,f（已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex,其中e是自然对数的底数,a∈R．若a=-1存在k∈R使得方程f（x）=k有3 （2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．已知函数g（x）=ex-1-ax，a∈R，e是自然对数的底数．已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（2013•四川）设函数f(x)＝ex+x−a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．已知函数f(x)＝ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数）