作业帮请人给出琴生,赫尔德,闵可夫斯基,贝努利不等式及证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 07:47:39
请人给出琴生,赫尔德,闵可夫斯基,贝努利不等式及证明
在数学领域里,不等式知识占有广阔的天地,而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩.下面择要介绍一些著名的不等式.
一、平均不等式（均值不等式）
设a1,a2,…,an是 n个实数,A＝叫做这n个实数的算术平均数.
当这 n个实数非负时,G＝叫做这 n个非负数的几何平均数.
当这 n个实数均为正数时,H＝叫做这 n个正数的调和平均数.
设a1,a2,…,an为 n个正数时,对如下的平均不等式：H≤G≤A
当且仅当 a1＝a2＝…＝an时等号成立.
平均不等式A≥G是一个重要的不等式,它的应用非常广泛,如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一.
设x1,x2,…,xn是 n个正的变数,则
(1)当积 x1x2…xn＝P是定值时,和x1＋x2＋…＋xn有最小值,且
(x1＋x2＋…＋xn)min＝n＝n
(2)当和 x1＋x2＋…＋xn＝S是定值时,积 x1x2…xn有最大值,且
(x1x2…xn)max＝()n＝()n
两者都是当且仅当 n个变数彼此相等时,即 x1＝x2＝…＝xn时,才能取得最大值或最小值.
在 A≥G中,当n＝2,3时,分别有
≥,≥
平均不等式 A≥G经常用到的几个特例是：
(a1＋a2＋…＋an) (＋＋…＋)≥n2
当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；
a1＋≥2,当且仅当a1＝1时等号成立.
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
对任意两组实数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn,有
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2) (b12＋b22＋…＋bn2)
其中等号当且仅当＝＝…＝时成立.
柯西不等式的几个特例(以下a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn均为实数)是：
(1) a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝1,则｜a1b1＋a2b2＋…＋anbn｜≤1
(2) a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32
(3) (a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)
柯西不等式是又一个重要不等式,有许多应用和推广.
三、闵可夫斯基不等式
设 a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn是两组正数,k＞0,k≠1,则
(1) k＞1时,≤＋
(2) 0＜k＜1时,≥＋
当且仅当 ＝＝…＝时等号成立.
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当k＝2,n＝2时得平面上的三角形不等式：
≤＋
右图给出了对上式的一个直观理解.
若记＝(a1,a2),＝(b1,b2),则上式为
|＋|≤||＋||
四、贝努利不等式
(1)设xi＞－1,i＝1,2,…,n,n ≥2且同号,
则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn
不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx,x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2
(2)设x＞－1,则
(i) 当0＜α＜1时,有(1＋x)α≤1＋αx；
(ii) 当α＞1或α＜0时,有 (1＋x)α≥1＋αx.
上两式当且仅当x＝0时等号成立.
五、赫尔德不等式
已知ai＞bi(1≤i≤n)是2n个正实数,p＞0,q＞0,p＋q＝1,则
a1pb1q＋a2pb2q＋…＋anpbnq≤(a1＋a2＋…＋an) p(b1＋b2＋…＋bn)q
上式中若令p＝q＝,xi2＝ai,yi2＝bi,即为柯西不等式.
六、契比雪夫不等式
(1)若 a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥；
(2)若 a1≤a2≤…≤an；b1≥b2≥…≥bn,则
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤；
下面给出一个n＝2时的契比雪夫不等式的直观理解.
如图,矩形OPAQ中, a1≤a2, b1≤b2,显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和,（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）.于是有
(a1＋a2) (b1＋b2)≤2(a1b1＋a2b2),也即
(a1b1＋a2b2)≥
七、排序不等式
设有两组数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn满足a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1bk1＋a2b k2＋…＋anbkn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn,式中的 k1, k2,…,kn是1,2,…,n的任意一个排列,式中的等号当且仅当 a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn时成立.
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.
这个不等式在不等式证明中占有重要地位,它使不少困难问题迎刃而解.
八、含有绝对值的不等式
a,b为复数,则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|
左边的等号仅当 a,b的幅角差为π时成立,右边的等号仅当 a,b的幅角相等时成立,这个不等式也称为三角形不等式,其一般形式是
|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋| a2|＋…＋|an|
绝对值不等式在实数的条件下用得较多.
九、琴生不等式
设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的几个实数x1,x2,…,xn有
f()≤[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]
等号当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取得.
琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的.利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式,比如“幂平均不等式”,“加权的琴生不等式”等等.
十、艾尔多斯—莫迪尔不等式
设P为⊿ABC内部或边界上一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则
PA＋PB＋PC≥2(PD＋PE＋PF)
当且仅当 ⊿ABC为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.
这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式.
以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果,如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具.
1、比较法（作差法）
在比较两个实数和的大小时,可借助的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.
例1、已知：,求证：.
证明：,故得.
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等）,其每一步的推导过程都必须可逆.
例2、求证：.
证明：要证,即证,即,由此逆推即得.
3、综合法
证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法.
例3、已知：,同号,求证：.
证明：因为,同号,所以,则,即.
4、作商法（作比法）
在证题时,一般在,均为正数时,借助或来判断其大小,步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）.
例4、设,求证：.
证明：因为,所以,.而,故.
5、反证法
先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的.
例5、已知,是大于1的整数,求证：.
证明：假设,则,即,故,这与已知矛盾,所以.
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证.
例6、已知：,求证：.
证明：因为,
所以,.
由柯西不等式
所以原不等式获证.
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大）,或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数,或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母）,从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.
例7、求证：.
证明：令,则
所以.
8、数学归纳法
对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果使不等式在时成立的假设下,还能证明不等式在时也成立,那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.
例8、已知：,求证：.
证明：（1）当时,不等式成立；
（2）若时,成立,则
=,
即成立.
根据（1）、（2）,对于大于1的自然数都成立.
9、换元法
在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化.
例9、已知：,求证：.
证明：设,则,
（因为,）,所以.
10、三角代换法
借助三角变换,在证题中可使某些问题变易.
例10、已知：,求证：.
证明：设,则；设,则
所以.
11、判别式法
通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式.
例11、设,且,求证：.
证明：设,则
代入中得,即
因为,所以,即,
解得,故.
12、标准化法
形如的函数,其中,且
为常数,则当的值之间越接近时,的值越大（或不变）；当时,取最大值,即
.
标准化定理：当A+B为常数时,有.
证明：记A+B=C,则
,
求导得,由得C=2A,即A=B
又由知的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时,故得不等式.
同理,可推广到关于个变元的情形.
例12、设A,B,C为三角形的三内角,求证：.
证明：由标准化定理得,当A=B=C时,取最大值,故.
13、等式法
应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.
例13（1956年波兰数学竞赛题）、为的三边长,求证：
.
证明：由海伦公式,其中.
两边平方,移项整理得
而,所以.
14、函数极值法
通过变换,把某些问题归纳为求函数的极值,达到证明不等式的目的.
例14、设,求证：.
证明：
当时,取最大值；当时,取最小值－4.
故.
15、单调函数法
当属于某区间,有,则单调上升；若,则单调下降.推广之,若证,只须证及即可,.
例15、,求证：.
证明：当时,而
故得.
16、中值定理法
利用中值定理：是在区间上有定义的连续函数,且可导,则存在,满足来证明某些不等式,达到简便的目的.
例16、求证：.
证明：设,则
故.
17、分解法
按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的.
例17、,且,求证：.
证明：因为
所以.
18、构造法
在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等,可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.
例18、已知：,求证：.
证明：依题设,构造复数,则,
所以
故.
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式.
排序不等式：设,则有
,其中是的一个排列.当且仅当或时取等号.简记作：反序和乱序和同序和.
例19、求证：.
证明：因为有序,所以根据排序不等式同序和最大,即.
20、几何法
借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易.
例20、已知：,且,求证：.
证明：以为斜边,为直角边作
延长AB至D,使,延长AC至E,使,过C作AD的平行线交DE于F,则∽,令,所以
又,即,所以.
另外,还可以利用重要的不等式来证题,如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等,这里不再烦述了.
在实际证明中,以上方法往往相互结合、互相包含,证题时,可能同时运用几种方法,结合起来加以证明.
一、平均不等式（均值不等式）
设a1,a2,…,an是 n个实数,A＝叫做这n个实数的算术平均数.
当这 n个实数非负时,G＝叫做这 n个非负数的几何平均数.
当这 n个实数均为正数时,H＝叫做这 n个正数的调和平均数.
设a1,a2,…,an为 n个正数时,对如下的平均不等式：H≤G≤A
当且仅当 a1＝a2＝…＝an时等号成立.
平均不等式A≥G是一个重要的不等式,它的应用非常广泛,如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一.
设x1,x2,…,xn是 n个正的变数,则
(1)当积 x1x2…xn＝P是定值时,和x1＋x2＋…＋xn有最小值,且
(x1＋x2＋…＋xn)min＝n＝n
(2)当和 x1＋x2＋…＋xn＝S是定值时,积 x1x2…xn有最大值,且
(x1x2…xn)max＝()n＝()n
两者都是当且仅当 n个变数彼此相等时,即 x1＝x2＝…＝xn时,才能取得最大值或最小值.
在 A≥G中,当n＝2,3时,分别有
≥,≥
平均不等式 A≥G经常用到的几个特例是：
(a1＋a2＋…＋an) (＋＋…＋)≥n2
当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；
a1＋≥2,当且仅当a1＝1时等号成立.
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
对任意两组实数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn,有
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2) (b12＋b22＋…＋bn2)
其中等号当且仅当＝＝…＝时成立.
柯西不等式的几个特例(以下a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn均为实数)是：
(1) a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝1,则｜a1b1＋a2b2＋…＋anbn｜≤1
(2) a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32
(3) (a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)
柯西不等式是又一个重要不等式,有许多应用和推广.
三、闵可夫斯基不等式
设 a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn是两组正数,k＞0,k≠1,则
(1) k＞1时,≤＋
(2) 0＜k＜1时,≥＋
当且仅当 ＝＝…＝时等号成立.
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当k＝2,n＝2时得平面上的三角形不等式：
≤＋
右图给出了对上式的一个直观理解.
若记＝(a1,a2),＝(b1,b2),则上式为
|＋|≤||＋||
四、贝努利不等式
(1)设xi＞－1,i＝1,2,…,n,n ≥2且同号,
则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn
不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx,x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2
(2)设x＞－1,则
(i) 当0＜α＜1时,有(1＋x)α≤1＋αx；
(ii) 当α＞1或α＜0时,有 (1＋x)α≥1＋αx.
上两式当且仅当x＝0时等号成立.
五、赫尔德不等式
已知ai＞bi(1≤i≤n)是2n个正实数,p＞0,q＞0,p＋q＝1,则
a1pb1q＋a2pb2q＋…＋anpbnq≤(a1＋a2＋…＋an) p(b1＋b2＋…＋bn)q
上式中若令p＝q＝,xi2＝ai,yi2＝bi,即为柯西不等式.
六、契比雪夫不等式
(1)若 a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥；
(2)若 a1≤a2≤…≤an；b1≥b2≥…≥bn,则
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤；
下面给出一个n＝2时的契比雪夫不等式的直观理解.
如图,矩形OPAQ中, a1≤a2, b1≤b2,显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和,（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）.于是有
(a1＋a2) (b1＋b2)≤2(a1b1＋a2b2),也即
(a1b1＋a2b2)≥
七、排序不等式
设有两组数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn满足a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1bk1＋a2b k2＋…＋anbkn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn,式中的 k1, k2,…,kn是1,2,…,n的任意一个排列,式中的等号当且仅当 a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn时成立.
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.
这个不等式在不等式证明中占有重要地位,它使不少困难问题迎刃而解.
八、含有绝对值的不等式
a,b为复数,则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|
左边的等号仅当 a,b的幅角差为π时成立,右边的等号仅当 a,b的幅角相等时成立,这个不等式也称为三角形不等式,其一般形式是
|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋| a2|＋…＋|an|
绝对值不等式在实数的条件下用得较多.
九、琴生不等式
设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的几个实数x1,x2,…,xn有
f()≤[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]
等号当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取得.
琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的.利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式,比如“幂平均不等式”,“加权的琴生不等式”等等.
十、艾尔多斯—莫迪尔不等式
设P为⊿ABC内部或边界上一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则
PA＋PB＋PC≥2(PD＋PE＋PF)
当且仅当 ⊿ABC为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.
这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式.
以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果,如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具.
1、比较法（作差法）
在比较两个实数和的大小时,可借助的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.
例1、已知：,求证：.
证明：,故得.
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等）,其每一步的推导过程都必须可逆.
例2、求证：.
证明：要证,即证,即,由此逆推即得.
3、综合法
证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法.
例3、已知：,同号,求证：.
证明：因为,同号,所以,则,即.
4、作商法（作比法）
在证题时,一般在,均为正数时,借助或来判断其大小,步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）.
例4、设,求证：.
证明：因为,所以,.而,故.
5、反证法
先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的.
例5、已知,是大于1的整数,求证：.
证明：假设,则,即,故,这与已知矛盾,所以.
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证.
例6、已知：,求证：.
证明：因为,
所以,.
由柯西不等式
所以原不等式获证.
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大）,或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数,或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母）,从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.
例7、求证：.
证明：令,则
所以.
8、数学归纳法
对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果使不等式在时成立的假设下,还能证明不等式在时也成立,那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.
例8、已知：,求证：.
证明：（1）当时,不等式成立；
（2）若时,成立,则
=,
即成立.
根据（1）、（2）,对于大于1的自然数都成立.
9、换元法
在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化.
例9、已知：,求证：.
证明：设,则,
（因为,）,所以.
10、三角代换法
借助三角变换,在证题中可使某些问题变易.
例10、已知：,求证：.
证明：设,则；设,则
所以.
11、判别式法
通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式.
例11、设,且,求证：.
证明：设,则
代入中得,即
因为,所以,即,
解得,故.
12、标准化法
形如的函数,其中,且
为常数,则当的值之间越接近时,的值越大（或不变）；当时,取最大值,即
.
标准化定理：当A+B为常数时,有.
证明：记A+B=C,则
,
求导得,由得C=2A,即A=B
又由知的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时,故得不等式.
同理,可推广到关于个变元的情形.
例12、设A,B,C为三角形的三内角,求证：.
证明：由标准化定理得,当A=B=C时,取最大值,故.
13、等式法
应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.
例13（1956年波兰数学竞赛题）、为的三边长,求证：
.
证明：由海伦公式,其中.
两边平方,移项整理得
而,所以.
14、函数极值法
通过变换,把某些问题归纳为求函数的极值,达到证明不等式的目的.
例14、设,求证：.
证明：
当时,取最大值；当时,取最小值－4.
故.
15、单调函数法
当属于某区间,有,则单调上升；若,则单调下降.推广之,若证,只须证及即可,.
例15、,求证：.
证明：当时,而
故得.
16、中值定理法
利用中值定理：是在区间上有定义的连续函数,且可导,则存在,满足来证明某些不等式,达到简便的目的.
例16、求证：.
证明：设,则
故.
17、分解法
按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的.
例17、,且,求证：.
证明：因为
所以.
18、构造法
在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等,可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.
例18、已知：,求证：.
证明：依题设,构造复数,则,
所以
故.
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式.
排序不等式：设,则有
,其中是的一个排列.当且仅当或时取等号.简记作：反序和乱序和同序和.
例19、求证：.
证明：因为有序,所以根据排序不等式同序和最大,即.
20、几何法
借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易.
例20、已知：,且,求证：.
证明：以为斜边,为直角边作
延长AB至D,使,延长AC至E,使,过C作AD的平行线交DE于F,则∽,令,所以
又,即,所以.
另外,还可以利用重要的不等式来证题,如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等,这里不再烦述了.
在实际证明中,以上方法往往相互结合、互相包含,证题时,可能同时运用几种方法,结合起来加以证明.