已知函数f（x）=ax-a+1（a＞0且a≠1），将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 08:41:01

已知函数f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）判断并证明函数y=h（

x+1

x−1

（1）∵函数f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），∴g（x）=a^x，
∵函数g（x）的反函数为h（x），∴h（x）=log_ax．
（2）函数y=h（
x+1
x−1）=loga
x+1
x−1，可得u（t）=loga
t+1
t−1是奇函数．
由
t+1
t−1＞0，解得t＞1或t＜-1，因此其定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称．
u（-t）=loga
−t+1
−t−1=loga
t−1
t+1=-u（t），
∴函数u（t）是奇函数．
（3）函数y=h（
x+1
x−1）=u（x）=loga
x+1
x−1，
当a＞1时，在区间（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，在区间（1，+∞）上是增函数．
证明：当a＞1时，在区间（1，+∞）上是减函数．
设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=loga
x1+1
x1−1-loga
x2+1
x2−1=loga
(x1+1)(x2−1)
(x1−1)(x2+1)，
∵（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞log_a1=0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴当a＞1时，在区间（1，+∞）上是减函数．
同理可证：当0＜a＜1时，在区间（1，+∞）上是增函数．