设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（1，0）的距离比点P到直

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 11:39:10

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（1，0）的距离比点P到直线x=-2的距离小1，过点M的直线l与点P的轨迹方程交于A、B两点．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
（III）求证：S_△OAB=S_△OAM•|BM|．

（Ⅰ）∵点P到定点M（1，0）的距离比点P（x，y）（x≥0）到直线x=-2的距离小1，
∴由抛物线的定义，可得点P的轨迹方程为y²=4x；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=1，与抛物线方程联立，可得A（1，2），B（1，-2），不满足

OA•

OB=0；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=
2k2+4
k2，x₁x₂=1
∴y₁y₂=-4，∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，不满足

OA•

OB=0
∴不存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点；
（III）证明：∵S_△OAB=
1
2•|OM|•|y1−y2|=
1
2|y1−y2|=
|k(x1−x2)|
2
S_△OAM•|BM|=
1
2•|OM|•|y1|•(x2+1)=
1
2•|k(x1−1)|•(x2+1)=
|k(x1x2+x1−x2−1)|
2
|k(x1−x