如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 17:42:41

（1）求证：EF+

（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．
∴AE=
1
2AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF，
又∵AF=AF，
∴Rt△AMF≌Rt△AEF，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，
∴MF=MB，MB=EF，
∴EF+
1
2AC=MB+AE=MB+AM=AB．
（2）E₁F₁，
1
2A₁C₁与AB三者之间的数量关系：E₁F₁+
1
2A₁C₁=AB
证明：如图2，连接F₁C₁，过点F₁作F₁P⊥A₁B于点P，F₁Q⊥BC于点Q，
∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，∴E₁F₁=PF₁；同理QF₁=PF₁，∴E₁F₁=PF₁=QF₁，
又∵A₁F₁=A₁F₁，∴Rt△A₁E₁F₁≌Rt△A₁PF₁，
∴A₁E₁=A₁P，
同理Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴C₁Q=C₁E₁，
由题意：A₁A=C₁C，
∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-C₁C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF₁=QF₁=QB，
∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁，
即2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁，
∴E₁F₁+
1
2A₁C₁=AB．
（3）设PB=x，则QB=x，
∵A₁E₁=3，QC₁=C₁E₁=2，
Rt△A₁BC₁中，A₁B²+BC₁²=A₁C₁²，
即（3+x）²+（2+x）²=5²，
∴x₁=1，x₂=-6（舍去），
∴PB=1，
∴E₁F₁=1，
又∵A₁C₁=5，
由（2）的结论：E₁F₁+
1
2A₁C₁=AB，
∴AB=
7
2，
∴BD=
7
2
2．