(2012•蓝山县模拟)如图,直角坐标系xOy中,一直角三角形ABC,∠=90°,B、C在x轴上且关于原点O对称,D在边
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/01 07:42:17
(2012•蓝山县模拟)如图,直角坐标系xOy中,一直角三角形ABC,∠=90°,B、C在x轴上且关于原点O对称,D在边BC上,BD=3DC,△ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点,且经过A、D两点.
(1)求双曲线E的方程;
( 2)若一过点O(m,0)(m为非零常数)的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,且
=λ
(1)求双曲线E的方程;
( 2)若一过点O(m,0)(m为非零常数)的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,且
MP |
PN |
(本小题满分13分)
(1)设双曲线E的方程为
x2
a2−
y2
b2=1 (a>0,b>0),
则B(-c,0),D(a,0),C(c,0).
由BD=3DC,得c+a=3(c-a),即c=2a.
∴
|AB|2−|AC|2=16a2
|AB|+|AC|=12−4a
|AB|−|AC|=2a.…(3分)
解之得a=1,∴c=2, b=
3.
∴双曲线E的方程为x2−
y2
3=1.…(5分)
(2)设在x轴上存在定点G(t,0),使
BC⊥(
GM−λ
GN).
设直线l的方程为x-m=ky,M(x1,y1),N(x2,y2).
由
MP=λ
PN,得y1+λy2=0.
即λ=−
y1
y2①…(6分)
∵
BC=(4,0),
GM−λ
GN=(x1−t−λx2+λt, y1−λy2),
∴
BC⊥(
GM−λ
GN)⇔x1-t=λ(x2-t).
即ky1+m-t=λ(ky2+m-t).②…(8分)
把①代入②,得2ky1y2+(m-t)(y1+y2)=0③…(10分)
把x-m=ky代入x2−
y2
3=1,并整理得(3k2-1)y2+6kmy+3(m2-1)=0,
其中3k2-1≠0且△>0,即k2≠
1
3且3k2+m2>1.
y1+y2=
−6km
3k2−1, y1y2=
3(m2−1)
3k2−1.…(11分)
代入③,得
6k(m2−1)
3k2−1−
6km(m−t)
3k2−1=0,
化简得 kmt=k.
当t=
1
m时,上式恒成立.
因此,在x轴上存在定点G(
1
m,0),使
BC⊥(
GM−λ
GN).…(13分)
(1)设双曲线E的方程为
x2
a2−
y2
b2=1 (a>0,b>0),
则B(-c,0),D(a,0),C(c,0).
由BD=3DC,得c+a=3(c-a),即c=2a.
∴
|AB|2−|AC|2=16a2
|AB|+|AC|=12−4a
|AB|−|AC|=2a.…(3分)
解之得a=1,∴c=2, b=
3.
∴双曲线E的方程为x2−
y2
3=1.…(5分)
(2)设在x轴上存在定点G(t,0),使
BC⊥(
GM−λ
GN).
设直线l的方程为x-m=ky,M(x1,y1),N(x2,y2).
由
MP=λ
PN,得y1+λy2=0.
即λ=−
y1
y2①…(6分)
∵
BC=(4,0),
GM−λ
GN=(x1−t−λx2+λt, y1−λy2),
∴
BC⊥(
GM−λ
GN)⇔x1-t=λ(x2-t).
即ky1+m-t=λ(ky2+m-t).②…(8分)
把①代入②,得2ky1y2+(m-t)(y1+y2)=0③…(10分)
把x-m=ky代入x2−
y2
3=1,并整理得(3k2-1)y2+6kmy+3(m2-1)=0,
其中3k2-1≠0且△>0,即k2≠
1
3且3k2+m2>1.
y1+y2=
−6km
3k2−1, y1y2=
3(m2−1)
3k2−1.…(11分)
代入③,得
6k(m2−1)
3k2−1−
6km(m−t)
3k2−1=0,
化简得 kmt=k.
当t=
1
m时,上式恒成立.
因此,在x轴上存在定点G(
1
m,0),使
BC⊥(
GM−λ
GN).…(13分)
(2012•莲都区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知O
如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形AOB的直角顶点与原点O重合,点A、B分别在x、y轴上,且AB=42.直线
如图,直角坐标系xoy中,有Rt△ABC,∠C=90°,D在边BC上,BD=3DC,双曲线E以B、C为焦点,且经过A、D
如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为一的圆的圆心O在坐标原点,且于两坐标轴交于A、B、C、D四点抛物线y=ax2+bx
如图,在直角坐标系中,点A(5,0)关于原点O的对称点为C,点B(3,4)关于原点O的对称点为点D,
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB
如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,点C、A分别在x轴、y轴正半轴
如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆O分别交x轴于A,B,C,D四点,抛物线y=x^2+bx+c经过点C且与直线
已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt △OCD 的一边OC 在X轴上,∠C=90°,点D在第
如图,在直角坐标系中,A,B,C,D四点在反比例函数y=k/x的图象上,线段AC,BD都过原点O
在平面直角坐标系XOY中,圆心在原点的圆O分别交X轴,Y轴于A,B,D,三点,且A(-1,0),C(0,-1).
如图,在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线AB平行于直线y=x,且与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于B点,点M,