作业帮一道关于函数单调性奇偶性的题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 11:53:25
一道关于函数单调性奇偶性的题
定义在R上的函数f（x）满足：1,对任意x,y属于R,有f（x+y）=f（x）+f（y）2,当x＞0时,f（x）＜0且f（1=-2 ） 求证：1.f（0）=0 2.判断函数f（x）的奇偶性 3.判断f（x）的单调性 4.解不等式f（x的平方-2x)-f（x）≥-8
定义在R上的函数f（x）满足：1,对任意x,y属于R,有f（x+y）=f（x）+f（y）2,当x＞0时,f（x）＜0且f（1=-2 ） 求证：1.f（0）=0 2.判断函数f（x）的奇偶性 3.判断f（x）的单调性 4.解不等式f（x的平方-2x)-f（x）≥-8
1、令x=y=0,因为f（x+y）=f（x）+f（y）
故：f（0+0）=f（0）+f（0）
故：f（0）=0
2、令x+y=0,故：y=-x
因为f（x+y）=f（x）+f（y
故：f（0）=f（x）+f（-x）
故：f（x）+f（-x）= f（0）=0
故：f（x）=-f（-x）
又f（0）=0,即过原点（0,0）,定义域为R
故：f（x）为奇函数
3、令y＞0,故：f（y）＜0
故：x+y＞x,f（x+y）-f（x）=f（y）＜0
故：f（x）在R上单调递减
4、因为f（1）=-2,故：f（4）= f（2）+ f（2）= f（1）+f（1）+f（1）+ f（1）=-8
故：f（x²-2x)-f（x）≥-8= f（4）
故：f（x²-2x) ≥f（x）+ f（4）= f（x +4）
因为f（x）在R上单调递减
故：x²-2x ≤x +4
故：(x-4)(x+1) ≤0
故：-1≤x≤4
故：f（0+0）=f（0）+f（0）
故：f（0）=0
2、令x+y=0,故：y=-x
因为f（x+y）=f（x）+f（y
故：f（0）=f（x）+f（-x）
故：f（x）+f（-x）= f（0）=0
故：f（x）=-f（-x）
又f（0）=0,即过原点（0,0）,定义域为R
故：f（x）为奇函数
3、令y＞0,故：f（y）＜0
故：x+y＞x,f（x+y）-f（x）=f（y）＜0
故：f（x）在R上单调递减
4、因为f（1）=-2,故：f（4）= f（2）+ f（2）= f（1）+f（1）+f（1）+ f（1）=-8
故：f（x²-2x)-f（x）≥-8= f（4）
故：f（x²-2x) ≥f（x）+ f（4）= f（x +4）
因为f（x）在R上单调递减
故：x²-2x ≤x +4
故：(x-4)(x+1) ≤0
故：-1≤x≤4